Номер 41.16, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.16. На рисунке 41.17 изображены графики функций $f$ и $g$, определённых на $\mathbb{R}$. Используя эти графики, решите неравенство:

Рис. 41.17

1) $f'(x) \le 0$

Производная функции $f'(x)$ в точке $x$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$ в этой точке. Неравенство $f'(x) \le 0$ означает, что мы ищем все значения $x$, для которых функция $f(x)$ не возрастает (то есть убывает или является постоянной), а угловой коэффициент касательной к её графику является неположительным.

Проанализируем график функции $y=f(x)$, представленный на левом рисунке.
- На интервале $(-\infty, -2)$ функция убывает. Это значит, что касательная в любой точке этого интервала имеет отрицательный угловой коэффициент, то есть $f'(x) < 0$.
- На интервале $(-2, \infty)$ функция возрастает, что означает, что угловой коэффициент касательной положителен, то есть $f'(x) > 0$.
- В точке $x = -2$ график имеет излом (острую вершину). В таких точках производная не существует (не определена).
- На графике нет точек, где касательная была бы параллельна оси абсцисс, поэтому уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений.

Таким образом, неравенство $f'(x) \le 0$ выполняется только там, где $f'(x) < 0$. Это соответствует интервалу, на котором функция убывает. Точка $x=-2$ не включается в ответ, поскольку производная в ней не определена, и, следовательно, неравенство для этой точки не имеет смысла.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

2) $g'(x) \ge 0$

Неравенство $g'(x) \ge 0$ означает, что мы ищем все значения $x$, для которых функция $g(x)$ не убывает (то есть возрастает или является постоянной), а угловой коэффициент касательной к её графику является неотрицательным.

Проанализируем график функции $y=g(x)$, представленный на правом рисунке.
- На интервале $(-\infty, -1)$ функция возрастает, следовательно, $g'(x) > 0$.
- На интервале $(-1, 2)$ функция убывает, следовательно, $g'(x) < 0$.
- На интервале $(2, 4)$ функция возрастает, следовательно, $g'(x) > 0$.
- На интервале $(4, \infty)$ функция убывает, следовательно, $g'(x) < 0$.
- В точках $x=-1$, $x=2$ и $x=4$ график имеет изломы, поэтому производная $g'(x)$ в этих точках не определена.
- На графике нет точек с горизонтальной касательной, поэтому уравнение $g'(x) = 0$ не имеет решений.

Следовательно, неравенство $g'(x) \ge 0$ выполняется только там, где $g'(x) > 0$. Это соответствует интервалам, на которых функция возрастает. Точки излома $x=-1$, $x=2$ и $x=4$ не включаются в ответ, так как производная в них не определена. Решением является объединение интервалов возрастания.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4)$.