Номер 41.12, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.12. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x;$

2) $f(x) = x - \cos x;$

3) $y = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$.

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x\sqrt{2} + \sin x)' = \sqrt{2} + \cos x$.

Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Тогда наименьшее значение производной $f'(x)$ равно $\sqrt{2} - 1$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$. Это означает, что $f'(x) = \sqrt{2} + \cos x$ всегда положительна.

Так как производная функции положительна на всей области определения, функция $f(x)$ является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) $f(x) = x - \cos x$

Найдем производную функции: $f'(x) = (x - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Таким образом, $f'(x) = 1 + \sin x \ge 1 - 1 = 0$. Производная функции неотрицательна для всех действительных значений $x$.

Производная равна нулю только в тех точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция $f(x)$ является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

3) $y = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Найдем производную функции: $y' = (\cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2})' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак.

Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, что равносильно $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это неравенство выполняется на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+1)]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, что равносильно $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это неравенство выполняется на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+1)]$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.