Номер 41.11, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.11. Докажите, что функция является возрастающей:

1) $f(x)=10x^3 - 9x^2 + 24x - 90;$

2) $f(x)=\sin x + x^3 + x.$

1) $f(x) = 10x^3 - 9x^2 + 24x - 90$

Для того чтобы доказать, что функция является возрастающей, достаточно показать, что ее производная положительна для всех значений $x$ из области определения.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (10x^3 - 9x^2 + 24x - 90)' = 10 \cdot (x^3)' - 9 \cdot (x^2)' + 24 \cdot (x)' - (90)'$
$f'(x) = 10 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 24 \cdot 1 - 0 = 30x^2 - 18x + 24$.

Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = 30x^2 - 18x + 24$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 30, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (то есть, может ли производная принимать нулевые или отрицательные значения), найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$, где $a=30, b=-18, c=24$:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 30 \cdot 24 = 324 - 2880 = -2556$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх ($a > 0$), график функции $f'(x)$ полностью расположен выше оси абсцисс. Это означает, что $f'(x) > 0$ для всех действительных значений $x$.

Так как производная функции $f(x)$ строго положительна на всей области определения, то функция $f(x)$ является возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = \sin x + x^3 + x$

Аналогично предыдущему пункту, найдем производную функции и исследуем ее знак. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x + x^3 + x)' = (\sin x)' + (x^3)' + (x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.

Исследуем знак производной $f'(x) = \cos x + 3x^2 + 1$.

Известно, что для любого действительного числа $x$ выполняются следующие неравенства:

• $-1 \le \cos x \le 1$
• $3x^2 \ge 0$

Рассмотрим выражение для производной: $f'(x) = (\cos x + 1) + 3x^2$.

Поскольку $\cos x \ge -1$, то $\cos x + 1 \ge 0$.
Также мы знаем, что $3x^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $(\cos x + 1)$ и $3x^2$ будет равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

• $3x^2 = 0$ только при $x=0$.
• $\cos x + 1 = 0$ (или $\cos x = -1$) при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти условия не могут выполняться одновременно. Следовательно, сумма $(\cos x + 1) + 3x^2$ никогда не равна нулю.

Поскольку оба слагаемых неотрицательны и не могут быть равны нулю одновременно, их сумма всегда строго положительна: $f'(x) = (\cos x + 1) + 3x^2 > 0$.

Так как производная функции $f(x)$ строго положительна на всей области определения, то функция $f(x)$ является возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.