Страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.7. На рисунке 41.14 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $\mathbb{R}$. Укажите промежутки возрастания функции $f$.

$y = f'(x)$

Рис. 41.14

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции $f(x)$, необходимо определить, на каких промежутках ее производная $f'(x)$ является положительной. Согласно свойству производной, если $f'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

На рисунке изображен график функции $y = f'(x)$. Промежутки возрастания функции $f(x)$ соответствуют тем промежуткам по оси $x$, на которых график ее производной $f'(x)$ находится выше оси абсцисс.

Из графика видно, что:

• График $f'(x)$ пересекает ось $x$ в точках $x = -2$ и $x = 2$. В этих точках $f'(x) = 0$.
• На интервале $(-\infty; -2)$ график $f'(x)$ расположен выше оси $x$, значит, $f'(x) > 0$.
• На интервале $(2; +\infty)$ график $f'(x)$ также расположен выше оси $x$, что означает $f'(x) > 0$.

Таким образом, функция $f(x)$ возрастает на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$. Поскольку функция $f$ дифференцируема на всей числовой прямой, она также является непрерывной. Это позволяет включить концы интервалов (точки, где производная равна нулю) в промежутки возрастания.

Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$.

41.8. На рисунке 41.15 изображены графики производных функций $f, g$ и $h$, дифференцируемых на $\mathbb{R}$. Какая из функций $f, g$ и $h$ убывает на отрезке $[-1; 1]$?

$y = f'(x)$

$y = g'(x)$

$y = h'(x)$

Рис. 41.15

Функция является убывающей на некотором отрезке, если ее производная на этом отрезке неположительна, то есть $f'(x) \le 0$. Для ответа на вопрос необходимо проанализировать графики производных $f'(x)$, $g'(x)$ и $h'(x)$ на отрезке $[-1; 1]$ и определить, какой из них полностью находится ниже или на оси абсцисс ($x$).

f
Рассмотрим график функции $y = f'(x)$. На отрезке $[-1; 1]$ этот график расположен как выше, так и ниже оси $x$. Например, в точках $x=-1$ и $x=1$ значения производной положительны ($f'(x) > 0$), а в точке $x=0$ значение производной отрицательно ($f'(x) < 0$). Поскольку производная не является неположительной на всем отрезке, функция $f(x)$ не убывает на отрезке $[-1; 1]$.

g
Рассмотрим график функции $y = g'(x)$. На всем отрезке $[-1; 1]$ этот график расположен на оси $x$ или выше нее. Это означает, что $g'(x) \ge 0$ для всех $x \in [-1; 1]$. Такое условие соответствует возрастающей функции, а не убывающей.

h
Рассмотрим график функции $y = h'(x)$. На промежутке $[-1; 0)$ график расположен выше оси $x$, что означает $h'(x) > 0$. На промежутке $(0; 1]$ график расположен ниже оси $x$, что означает $h'(x) < 0$. Поскольку производная принимает положительные значения на части отрезка $[-1; 1]$, функция $h(x)$ не является убывающей на всем этом отрезке.

Из проведенного анализа следует, что ни одна из функций не убывает на всем отрезке $[-1; 1]$. Вероятнее всего, в условии задачи допущена ошибка, и требовалось найти функцию, которая возрастает на отрезке $[-1; 1]$. Условию возрастания ($y' \ge 0$) удовлетворяет только функция $g(x)$.

Ответ: $g$.

41.9. На рисунке 41.16 изображены графики производных функций $f$, $g$ и $h$. Какая из функций $f$, $g$ и $h$ убывает на $R$?

$y = f'(x)$

$y = g'(x)$

$y = h'(x)$

Рис. 41.16

Для того чтобы определить, какая из функций $f$, $g$ или $h$ убывает на всей числовой прямой $R$ (множестве всех действительных чисел), необходимо проанализировать знаки их производных.

Функция является убывающей на некотором интервале, если её производная на этом интервале отрицательна (или равна нулю в отдельных точках, но не на целом промежутке). Таким образом, нам нужно найти функцию, график производной которой лежит ниже оси абсцисс ($x$) для всех значений $x$.

Анализ графика производной функции f
График производной $y = f'(x)$ полностью расположен выше оси абсцисс. Это означает, что $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$. Поскольку производная функции $f$ всегда положительна, сама функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.

Анализ графика производной функции g
График производной $y = g'(x)$ полностью расположен ниже оси абсцисс. Это означает, что $g'(x) < 0$ для всех $x \in R$. Поскольку производная функции $g$ всегда отрицательна, сама функция $g(x)$ убывает на всей числовой прямой.

Анализ графика производной функции h
График производной $y = h'(x)$ пересекает ось абсцисс. При $x < 0$ график находится выше оси $x$, то есть $h'(x) > 0$, следовательно, функция $h(x)$ возрастает. При $x > 0$ график находится ниже оси $x$, то есть $h'(x) < 0$, следовательно, функция $h(x)$ убывает. Поскольку функция $h(x)$ на одном промежутке возрастает, а на другом убывает, она не является убывающей на всей числовой прямой $R$.

Сделав вывод из анализа всех трех графиков, мы видим, что только производная функции $g$ отрицательна на всей области определения. Следовательно, именно функция $g$ убывает на $R$.
Ответ: функция $g$.

41.10. Докажите, что функция является убывающей:

1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$;

2) $f(x) = \sin 2x - 3x$.

1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

Чтобы доказать, что функция является убывающей, нужно найти ее производную и показать, что она неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех значений $x$ из области определения функции.

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3)' = 0 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -x^2 + x - 1$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = -x^2 + x - 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1 < 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-x^2 + x - 1$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент отрицателен ($a < 0$), квадратный трехчлен принимает только отрицательные значения при всех действительных $x$.

Следовательно, $f'(x) = -x^2 + x - 1 < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как производная функции строго отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является строго убывающей. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что функция является убывающей.

2) $f(x) = \sin 2x - 3x$

Аналогично первому пункту, найдем производную функции и определим ее знак. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin 2x - 3x)' = (\cos 2x) \cdot (2x)' - 3 = 2\cos 2x - 3$.

Теперь исследуем знак производной $f'(x) = 2\cos 2x - 3$.

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \cos 2x \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos 2x \le 2$.

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-2 - 3 \le 2\cos 2x - 3 \le 2 - 3$.

$-5 \le f'(x) \le -1$.

Полученное неравенство показывает, что производная $f'(x)$ всегда принимает отрицательные значения, так как ее значения лежат в отрезке $[-5, -1]$.

Поскольку $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что функция является убывающей.

41.11. Докажите, что функция является возрастающей:

1) $f(x)=10x^3 - 9x^2 + 24x - 90;$

2) $f(x)=\sin x + x^3 + x.$

1) $f(x) = 10x^3 - 9x^2 + 24x - 90$

Для того чтобы доказать, что функция является возрастающей, достаточно показать, что ее производная положительна для всех значений $x$ из области определения.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (10x^3 - 9x^2 + 24x - 90)' = 10 \cdot (x^3)' - 9 \cdot (x^2)' + 24 \cdot (x)' - (90)'$
$f'(x) = 10 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 24 \cdot 1 - 0 = 30x^2 - 18x + 24$.

Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = 30x^2 - 18x + 24$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 30, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (то есть, может ли производная принимать нулевые или отрицательные значения), найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$, где $a=30, b=-18, c=24$:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 30 \cdot 24 = 324 - 2880 = -2556$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх ($a > 0$), график функции $f'(x)$ полностью расположен выше оси абсцисс. Это означает, что $f'(x) > 0$ для всех действительных значений $x$.

Так как производная функции $f(x)$ строго положительна на всей области определения, то функция $f(x)$ является возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = \sin x + x^3 + x$

Аналогично предыдущему пункту, найдем производную функции и исследуем ее знак. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x + x^3 + x)' = (\sin x)' + (x^3)' + (x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.

Исследуем знак производной $f'(x) = \cos x + 3x^2 + 1$.

Известно, что для любого действительного числа $x$ выполняются следующие неравенства:

• $-1 \le \cos x \le 1$
• $3x^2 \ge 0$

Рассмотрим выражение для производной: $f'(x) = (\cos x + 1) + 3x^2$.

Поскольку $\cos x \ge -1$, то $\cos x + 1 \ge 0$.
Также мы знаем, что $3x^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $(\cos x + 1)$ и $3x^2$ будет равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

• $3x^2 = 0$ только при $x=0$.
• $\cos x + 1 = 0$ (или $\cos x = -1$) при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти условия не могут выполняться одновременно. Следовательно, сумма $(\cos x + 1) + 3x^2$ никогда не равна нулю.

Поскольку оба слагаемых неотрицательны и не могут быть равны нулю одновременно, их сумма всегда строго положительна: $f'(x) = (\cos x + 1) + 3x^2 > 0$.

Так как производная функции $f(x)$ строго положительна на всей области определения, то функция $f(x)$ является возрастающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

41.12. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x;$

2) $f(x) = x - \cos x;$

3) $y = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$.

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x\sqrt{2} + \sin x)' = \sqrt{2} + \cos x$.

Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Тогда наименьшее значение производной $f'(x)$ равно $\sqrt{2} - 1$.

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$. Это означает, что $f'(x) = \sqrt{2} + \cos x$ всегда положительна.

Так как производная функции положительна на всей области определения, функция $f(x)$ является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) $f(x) = x - \cos x$

Найдем производную функции: $f'(x) = (x - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Таким образом, $f'(x) = 1 + \sin x \ge 1 - 1 = 0$. Производная функции неотрицательна для всех действительных значений $x$.

Производная равна нулю только в тех точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция $f(x)$ является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

3) $y = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Найдем производную функции: $y' = (\cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2})' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак.

Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, что равносильно $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это неравенство выполняется на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+1)]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, что равносильно $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это неравенство выполняется на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+1)]$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

41.13. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sin x - x$;

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x$.

1) $f(x) = \sin x - x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и $\sin x$, и $x$ определены для всех действительных чисел.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - x)' = (\sin x)' - (x)' = \cos x - 1$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает там, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Проанализируем знак производной $f'(x) = \cos x - 1$.

Известно, что область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.

Следовательно, $f'(x) = \cos x - 1 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная $f'(x)$ равна нулю только в тех точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Во всех остальных точках $f'(x) < 0$.

Поскольку производная функции никогда не бывает положительной, у функции нет промежутков возрастания.

Так как $f'(x) \le 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Ответ: промежутков возрастания нет; промежуток убывания: $(-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x$

Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции и определим ее знак.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x\right)' = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)' - (\sin x)' = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x$.

Найдем промежутки, на которых функция возрастает, то есть $f'(x) > 0$.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x > 0$

$\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая это тригонометрическое неравенство, получаем, что $x$ принадлежит объединению интервалов $\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция непрерывна, концы этих промежутков, где производная равна нулю, можно включить. Таким образом, промежутки возрастания функции:

$\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем промежутки, на которых функция убывает, то есть $f'(x) < 0$.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x < 0$

$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы $\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Включая концы промежутков, получаем промежутки убывания функции:

$\left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$; функция убывает на промежутках $\left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

41.14. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x}$;

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}$.

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

1. Найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 + 4x \ge 0$

$x(x + 4) \ge 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что область определения функции есть объединение промежутков: $D(f) = (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x}} \cdot (x^2 + 4x)' = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}}$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения, кроме точек $x=-4$ и $x=0$, где знаменатель обращается в ноль.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Отсюда $x + 2 = 0$, что дает $x = -2$. Однако точка $x = -2$ не входит в область определения функции, так как $(-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Следовательно, у функции нет стационарных точек.

4. Исследуем знак производной на интервалах области определения $(-\infty, -4)$ и $(0, +\infty)$.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x + 2$, так как знаменатель $\sqrt{x^2 + 4x}$ всегда положителен.

При $x \in (-\infty, -4)$, числитель $x + 2 < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. На этом промежутке функция убывает.

При $x \in (0, +\infty)$, числитель $x + 2 > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. На этом промежутке функция возрастает.

Так как функция непрерывна в точках $x = -4$ и $x = 0$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -4]$.

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}$

Действуем аналогично первому пункту.

1. Найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6x - x^2 \ge 0$

$x(6 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, получаем, что область определения функции: $D(f) = [0, 6]$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{6x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{6x - x^2}} \cdot (6x - x^2)' = \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}}$.

Производная $f'(x)$ существует на интервале $(0, 6)$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}} = 0$

Отсюда $3 - x = 0$, что дает $x = 3$. Эта точка принадлежит области определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, 3)$ и $(3, 6)$.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $3 - x$.

При $x \in (0, 3)$, числитель $3 - x > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. На этом промежутке функция возрастает.

При $x \in (3, 6)$, числитель $3 - x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. На этом промежутке функция убывает.

Так как функция непрерывна в точках $x = 0$, $x = 3$ и $x = 6$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 3]$ и убывает на промежутке $[3, 6]$.

41.15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$, необходимо найти её область определения и исследовать знак её производной.

1. Найдём область определения функции.

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$x^2 - 1 \ge 0$

$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Производная $f'(x)$ определена при $x^2 - 1 > 0$, то есть при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь определим знаки производной на полученных интервалах.

Функция возрастает, когда её производная $f'(x) > 0$. Решим неравенство:

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > 0$

Знаменатель $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда положителен на области определения производной. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство сводится к $x > 0$.

Теперь найдём пересечение этого решения с областью определения функции $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Решением системы $\begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \end{cases}$ является промежуток $[1, \infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Функция убывает, когда её производная $f'(x) < 0$. Решим неравенство:

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} < 0$

Так как знаменатель $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство сводится к $x < 0$.

Найдём пересечение этого решения с областью определения функции $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Решением системы $\begin{cases} x < 0 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \end{cases}$ является промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

41.16. На рисунке 41.17 изображены графики функций $f$ и $g$, определённых на $\mathbb{R}$. Используя эти графики, решите неравенство:

Рис. 41.17

1) $f'(x) \le 0$

Производная функции $f'(x)$ в точке $x$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$ в этой точке. Неравенство $f'(x) \le 0$ означает, что мы ищем все значения $x$, для которых функция $f(x)$ не возрастает (то есть убывает или является постоянной), а угловой коэффициент касательной к её графику является неположительным.

Проанализируем график функции $y=f(x)$, представленный на левом рисунке.
- На интервале $(-\infty, -2)$ функция убывает. Это значит, что касательная в любой точке этого интервала имеет отрицательный угловой коэффициент, то есть $f'(x) < 0$.
- На интервале $(-2, \infty)$ функция возрастает, что означает, что угловой коэффициент касательной положителен, то есть $f'(x) > 0$.
- В точке $x = -2$ график имеет излом (острую вершину). В таких точках производная не существует (не определена).
- На графике нет точек, где касательная была бы параллельна оси абсцисс, поэтому уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений.

Таким образом, неравенство $f'(x) \le 0$ выполняется только там, где $f'(x) < 0$. Это соответствует интервалу, на котором функция убывает. Точка $x=-2$ не включается в ответ, поскольку производная в ней не определена, и, следовательно, неравенство для этой точки не имеет смысла.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

2) $g'(x) \ge 0$

Неравенство $g'(x) \ge 0$ означает, что мы ищем все значения $x$, для которых функция $g(x)$ не убывает (то есть возрастает или является постоянной), а угловой коэффициент касательной к её графику является неотрицательным.

Проанализируем график функции $y=g(x)$, представленный на правом рисунке.
- На интервале $(-\infty, -1)$ функция возрастает, следовательно, $g'(x) > 0$.
- На интервале $(-1, 2)$ функция убывает, следовательно, $g'(x) < 0$.
- На интервале $(2, 4)$ функция возрастает, следовательно, $g'(x) > 0$.
- На интервале $(4, \infty)$ функция убывает, следовательно, $g'(x) < 0$.
- В точках $x=-1$, $x=2$ и $x=4$ график имеет изломы, поэтому производная $g'(x)$ в этих точках не определена.
- На графике нет точек с горизонтальной касательной, поэтому уравнение $g'(x) = 0$ не имеет решений.

Следовательно, неравенство $g'(x) \ge 0$ выполняется только там, где $g'(x) > 0$. Это соответствует интервалам, на которых функция возрастает. Точки излома $x=-1$, $x=2$ и $x=4$ не включаются в ответ, так как производная в них не определена. Решением является объединение интервалов возрастания.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4)$.