Страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Сформулируйте теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа.

2. Сформулируйте признаки постоянства, возрастания, убывания функции.

1. Сформулируйте теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема в этой точке. Если $x_0$ является точкой локального экстремума (максимума или минимума) функции $f(x)$, то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.
Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке локального экстремума, если она существует, параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля
Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке $[a, b]$;
2. дифференцируема на интервале $(a, b)$;
3. принимает равные значения на концах отрезка, то есть $f(a) = f(b)$.
Тогда на интервале $(a, b)$ найдётся хотя бы одна точка $c$, в которой производная функции равна нулю: $f'(c) = 0$.
Геометрический смысл: если гладкая кривая соединяет две точки с одинаковой ординатой, то на этой кривой найдётся хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа (о среднем значении)
Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке $[a, b]$;
2. дифференцируема на интервале $(a, b)$.
Тогда на интервале $(a, b)$ найдётся хотя бы одна точка $c$, такая, что выполняется равенство: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Геометрический смысл: на дуге кривой, соединяющей точки $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$, найдётся хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки $A$ и $B$.

Ответ: Выше приведены формулировки теорем Ферма, Ролля и Лагранжа.

2. Сформулируйте признаки постоянства, возрастания, убывания функции.

Признаки формулируются для функции $f(x)$, которая непрерывна на некотором промежутке $I$ и дифференцируема во всех его внутренних точках.

Признак постоянства функции
Если производная функции равна нулю во всех внутренних точках промежутка $I$, то есть $f'(x) = 0$ для любого $x$ из внутренности $I$, то функция является постоянной на этом промежутке ($f(x) = C$).

Признак возрастания функции
Если производная функции положительна во всех внутренних точках промежутка $I$, то есть $f'(x) > 0$ для любого $x$ из внутренности $I$, то функция строго возрастает на этом промежутке.

Признак убывания функции
Если производная функции отрицательна во всех внутренних точках промежутка $I$, то есть $f'(x) < 0$ для любого $x$ из внутренности $I$, то функция строго убывает на этом промежутке.

Ответ: Выше приведены признаки постоянства, возрастания и убывания функции на промежутке, основанные на знаке её производной.

41.1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$;

2) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x$;

3) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$;

4) $f(x) = x^3 + 4x - 8$.

1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2x^3 - 3x^2 + 1)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 - 6x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 - 6x = 0$

$6x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

3. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = 6x(x-1)$ на каждом из них. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает, если $f'(x) < 0$, функция убывает.

На промежутке $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$, имеем $f'(-1) = 6(-1)(-1-1) = 12 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(0; 1)$, например при $x = 0.5$, имеем $f'(0.5) = 6(0.5)(0.5-1) = -1.5 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(1; +\infty)$, например при $x = 2$, имеем $f'(2) = 6(2)(2-1) = 12 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$ и убывает на промежутке $[0; 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 1]$.

2) $f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-x^3 + 9x^2 + 21x)' = -3x^2 + 18x + 21$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-3x^2 + 18x + 21 = 0$

Разделим уравнение на -3:

$x^2 - 6x - 7 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

3. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 7)$ и $(7; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = -3(x+1)(x-7)$ на каждом из них.

На промежутке $(-\infty; -1)$, например при $x = -2$, имеем $f'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -12 - 36 + 21 = -27 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(-1; 7)$, например при $x = 0$, имеем $f'(0) = 21 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(7; +\infty)$, например при $x = 8$, имеем $f'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -192 + 144 + 21 = -27 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[7; +\infty)$ и возрастает на промежутке $[-1; 7]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 7]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[7; +\infty)$.

3) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 - 3)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Эти точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$ на каждом из них.

На промежутке $(-\infty; -1)$, например при $x = -2$, имеем $f'(-2) = 4(-2)((-2)^2-1) = -8(3) = -24 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(-1; 0)$, например при $x = -0.5$, имеем $f'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2-1) = -2(0.25-1) = 1.5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

На промежутке $(0; 1)$, например при $x = 0.5$, имеем $f'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2-1) = 2(0.25-1) = -1.5 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(1; +\infty)$, например при $x = 2$, имеем $f'(2) = 4(2)(2^2-1) = 8(3) = 24 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

4) $f(x) = x^3 + 4x - 8$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 4x - 8)' = 3x^2 + 4$.

2. Попытаемся найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 4 = 0$

$3x^2 = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), а значит $3x^2 \ge 0$, и выражение $3x^2+4$ не может быть равно нулю.

3. Определим знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и $f'(x) = 3x^2 + 4 \ge 4$. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции положительна на всей числовой оси, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

41.2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x;$

2) $f(x) = x^4 + 4x - 20.$

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим знаки производной на области определения. Функция является непрерывной на всей числовой оси.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю, чтобы найти точки возможного экстремума:

$f'(x) = 0$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Эти критические точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x)$ в каждом из этих интервалов, чтобы определить, где функция возрастает ($f'(x) > 0$), а где убывает ($f'(x) < 0$).

• В интервале $(-\infty; -3)$ выберем пробную точку, например $x = -4$.
  $f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 33 = 15$.
  Так как $f'(-4) > 0$, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3]$.

• В интервале $(-3; 1)$ выберем пробную точку, например $x = 0$.
  $f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$.
  Так как $f'(0) < 0$, функция убывает на промежутке $[-3; 1]$.

• В интервале $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 2$.
  $f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15$.
  Так как $f'(2) > 0$, функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 1]$.

2) $f(x) = x^4 + 4x - 20$

Действуем по тому же алгоритму. Функция является непрерывной на всей числовой оси.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную:

$f'(x) = (x^4 + 4x - 20)' = 4x^3 + 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$4x^3 + 4 = 0$

$4(x^3 + 1) = 0$

$x^3 + 1 = 0$

$x^3 = -1$

Единственный действительный корень этого уравнения $x = -1$.

Эта критическая точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной в каждом из них.

• В интервале $(-\infty; -1)$ выберем пробную точку, например $x = -2$.
  $f'(-2) = 4(-2)^3 + 4 = 4(-8) + 4 = -32 + 4 = -28$.
  Так как $f'(-2) < 0$, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

• В интервале $(-1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 0$.
  $f'(0) = 4(0)^3 + 4 = 4$.
  Так как $f'(0) > 0$, функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$, возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

41.3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7;$

2) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x};$

3) $f(x) = x + \frac{9}{x};$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}.$

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Сначала найдем область определения. Так как это многочлен, область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Теперь найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 0 = x^3 - x^2$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x - 1) = 0$.
Критическими точками являются $x = 0$ и $x = 1$.
Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.
- На интервале $(-\infty, 0)$, возьмем $x = -1$: $f'(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 = -1 - 1 = -2 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, 1)$, возьмем $x = 0.5$: $f'(0.5) = (0.5)^3 - (0.5)^2 = 0.125 - 0.25 = -0.125 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, возьмем $x = 2$: $f'(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4 > 0$. Функция возрастает.
Поскольку функция непрерывна в точках $x=0$ и $x=1$, мы можем объединить промежутки убывания.
Промежуток возрастания: $[1, +\infty)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.
Приведем производную к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^2}$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x^3 - 2}{x^2} = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$2x^3 - 2 = 0 \Rightarrow 2x^3 = 2 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$.
Производная не определена в точке $x = 0$, которая также является точкой разрыва для самой функции.
Точки $x=0$ и $x=1$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.
Определим знак $f'(x) = \frac{2(x^3-1)}{x^2}$ на каждом интервале. Знак производной зависит только от знака числителя $(x^3-1)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.
- На интервале $(-\infty, 0)$: $x^3-1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, 1)$: $x^3-1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$: $x^3-1 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
Промежутки возрастания: $[1, +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$.

3) Для функции $f(x) = x + \frac{9}{x}$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + 9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0$.
$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = -3$ и $x = 3$.
Точка $x=0$ — точка разрыва функции.
Точки $x=-3, x=0, x=3$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.
Определим знак $f'(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2}$. Знак зависит от знака числителя $x^2 - 9$.
- На интервале $(-\infty, -3)$: $x^2 - 9 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-3, 0)$: $x^2 - 9 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, 3)$: $x^2 - 9 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(3, +\infty)$: $x^2 - 9 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
Промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$.
Промежутки убывания: $[-3, 0)$ и $(0, 3]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$ и убывает на промежутках $[-3, 0)$ и $(0, 3]$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Область определения функции: $3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.
Заметим, что числитель является полным квадратом: $f(x) = \frac{(x-1)^2}{3-x}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{((x-1)^2)'(3-x) - (x-1)^2(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{2(x-1)(3-x) - (x-1)^2(-1)}{(3-x)^2}$.
$f'(x) = \frac{(x-1)[2(3-x) + (x-1)]}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(6 - 2x + x - 1)}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(5-x)}{(3-x)^2} = \frac{-x^2+6x-5}{(3-x)^2}$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow (x-1)(5-x) = 0$.
Критическими точками являются $x = 1$ и $x = 5$.
Точка $x=3$ — точка разрыва функции.
Точки $x=1, x=3, x=5$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, $(3, 5)$ и $(5, +\infty)$.
Определим знак $f'(x) = \frac{(x-1)(5-x)}{(3-x)^2}$. Знак зависит от знака числителя $(x-1)(5-x)$, так как знаменатель $(3-x)^2$ всегда положителен.
- На интервале $(-\infty, 1)$: $(x-1) < 0$ и $(5-x) > 0$, произведение отрицательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, 3)$: $(x-1) > 0$ и $(5-x) > 0$, произведение положительно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(3, 5)$: $(x-1) > 0$ и $(5-x) > 0$, произведение положительно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(5, +\infty)$: $(x-1) > 0$ и $(5-x) < 0$, произведение отрицательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
Промежутки возрастания: $[1, 3)$ и $(3, 5]$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[1, 3)$ и $(3, 5]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.

41.4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$;

2) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$;

4) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$.

1) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную.
Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$f'(x) = (9 + 4x^3 - x^4)' = 12x^2 - 4x^3$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$12x^2 - 4x^3 = 0$
$4x^2(3 - x) = 0$
Отсюда получаем $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак производной в каждом промежутке:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x = -1$, $f'(-1) = 12(-1)^2 - 4(-1)^3 = 12 + 4 = 16 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 3)$, например $x = 1$, $f'(1) = 12(1)^2 - 4(1)^3 = 12 - 4 = 8 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (3; +\infty)$, например $x = 4$, $f'(4) = 12(4)^2 - 4(4)^3 = 12 \cdot 16 - 4 \cdot 64 = 192 - 256 = -64 < 0$, функция убывает.

Так как в точке $x = 0$ функция непрерывна, а производная слева и справа от нее положительна, то промежутки возрастания $(-\infty; 0)$ и $(0; 3)$ можно объединить.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$ и убывает на промежутке $[3; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 3]$ и убывает на $[3; +\infty)$.

2) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$

Область определения функции: $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (3x + 12x^{-2})' = 3 - 24x^{-3} = 3 - \frac{24}{x^3}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3 - \frac{24}{x^3} = 0$
$3 = \frac{24}{x^3}$
$x^3 = \frac{24}{3} = 8$
$x = 2$.
Производная не существует в точке $x = 0$, которая не входит в область определения функции.
Точки $x=0$ и $x=2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной в каждом промежутке:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x = -1$, $f'(-1) = 3 - \frac{24}{(-1)^3} = 3 + 24 = 27 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$, $f'(1) = 3 - \frac{24}{1^3} = 3 - 24 = -21 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$, $f'(3) = 3 - \frac{24}{3^3} = 3 - \frac{24}{27} > 0$, функция возрастает.

Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 2]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, убывает на $(0; 2]$.

3) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$

Область определения функции: $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Найдем производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2 + 5x)'(x-4) - (x^2+5x)(x-4)'}{(x-4)^2} = \frac{(2x+5)(x-4) - (x^2+5x)(1)}{(x-4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 8x + 5x - 20 - x^2 - 5x}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x-4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Это эквивалентно тому, что числитель равен нулю:
$x^2 - 8x - 20 = 0$.
Используя теорему Виета или дискриминант, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 10$.
(Дискриминант $D = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$. $x_{1,2} = \frac{8 \pm 12}{2}$).
Производная не существует в точке $x = 4$, которая не входит в область определения функции.
Точки $x=-2, x=4, x=10$ делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 4)$, $(4; 10)$ и $(10; +\infty)$.
Знаменатель производной $(x-4)^2$ всегда положителен (кроме $x=4$), поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $x^2 - 8x - 20$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось OX в точках -2 и 10.

• При $x \in (-\infty; -2)$, числитель положителен, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 4)$, числитель отрицателен, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4; 10)$, числитель отрицателен, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (10; +\infty)$, числитель положителен, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[10; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; 4)$ и $(4; 10]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[10; +\infty)$, убывает на $[-2; 4)$ и $(4; 10]$.

4) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$

Область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-4) - x^2(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{-8x}{(x^2-4)^2} = 0$.
$-8x = 0 \implies x = 0$.
Производная не существует в точках $x = -2$ и $x = 2$, которые не входят в область определения функции.
Точки $x=-2, x=0, x=2$ делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Знаменатель производной $(x^2-4)^2$ всегда положителен (кроме $x=\pm 2$), поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $-8x$.

• При $x \in (-\infty; -2)$, числитель $-8x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 0)$, числитель $-8x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, числитель $-8x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, числитель $-8x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$, убывает на промежутках $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$, убывает на $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

41.5. На рисунке 41.11 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $R$. Укажите промежутки убывания функции $f$.

$y$ $y = f'(x)$ $x_1$ $0$ $x_2$ $a$ $x_3$ $x$

Рис. 41.11

Для определения промежутков убывания функции $f(x)$ необходимо проанализировать знак её производной $f'(x)$. Функция $f(x)$ убывает на тех промежутках, где её производная неположительна, то есть $f'(x) \le 0$.

На рисунке представлен график производной функции, то есть $y = f'(x)$. Чтобы найти промежутки убывания исходной функции $f(x)$, нужно определить, на каких промежутках оси $x$ график её производной $f'(x)$ расположен ниже оси абсцисс (где $f'(x) < 0$) или на самой оси (где $f'(x) = 0$).

Анализируя представленный график, мы видим:

1. График $f'(x)$ находится ниже оси $x$ на интервалах $(-\infty, x_1)$ и $(x_2, x_3)$. На этих интервалах $f'(x) < 0$.

2. График $f'(x)$ пересекает ось $x$ в точках $x_1$, $x_2$ и $x_3$. В этих точках $f'(x) = 0$.

Объединяя эти условия, мы получаем, что неравенство $f'(x) \le 0$ выполняется на промежутках $(-\infty, x_1]$ и $[x_2, x_3]$. Следовательно, это и есть промежутки убывания функции $f(x)$.

Ответ: $(-\infty, x_1]$ и $[x_2, x_3]$.

41.6. На рисунке 41.12 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на $\mathbf{R}$. Среди приведённых на рисунке 41.13 графиков укажите тот, который может быть графиком функции $y = f'(x)$.

Рис. 41.12

Рис. 41.13

а

б

в

г

Для того чтобы определить, какой из графиков на рисунке 41.13 может быть графиком производной функции $ y = f(x) $, изображённой на рисунке 41.12, проанализируем свойства функции $ y = f(x) $ и соответствующие им свойства её производной $ y = f'(x) $.

Взаимосвязь между функцией и её производной следующая:

• На промежутках, где функция $ f(x) $ возрастает, её производная $ f'(x) $ положительна ($ f'(x) > 0 $).
• На промежутках, где функция $ f(x) $ убывает, её производная $ f'(x) $ отрицательна ($ f'(x) < 0 $).
• В точках экстремума (максимума или минимума) функции $ f(x) $, где касательная к графику горизонтальна, её производная равна нулю ($ f'(x) = 0 $).
• Если график функции $ f(x) $ является выпуклым вверх (вогнутым), как на рисунке 41.12, это означает, что угол наклона касательной к графику постоянно уменьшается при движении вдоль оси $ x $ слева направо. Следовательно, её производная $ f'(x) $ является убывающей функцией.

Проанализируем график функции $ y = f(x) $ с рисунка 41.12:

1. Функция $ f(x) $ возрастает до точки максимума, а затем убывает.
2. Точка максимума $ x_m $ находится правее оси $ y $, то есть её абсцисса $ x_m > 0 $.
3. На всём протяжении график является выпуклым вверх.

Исходя из этого, график производной $ y = f'(x) $ должен обладать следующими свойствами:

• Быть убывающей функцией на всей области определения.
• Быть положительным ($ f'(x) > 0 $) при $ x < x_m $, отрицательным ($ f'(x) < 0 $) при $ x > x_m $ и равным нулю ($ f'(x) = 0 $) в точке $ x = x_m $, где $ x_m > 0 $.

Теперь рассмотрим предложенные графики на рисунке 41.13.

а

На этом графике изображена возрастающая функция. Это противоречит свойству выпуклости вверх функции $ f(x) $, которое требует, чтобы производная $ f'(x) $ была убывающей. Следовательно, этот график не подходит.

б

На этом графике изображена убывающая функция. Она положительна при $ x < 0 $ и отрицательна при $ x > 0 $. Она пересекает ось абсцисс в точке $ x = 0 $. Этот график соответствует требованию об убывании производной и о смене знака с плюса на минус. Единственное несоответствие заключается в том, что точка пересечения с осью $ x $ здесь $ x=0 $, в то время как максимум исходной функции находится в точке $ x_m > 0 $. Однако, по сравнению с другими вариантами, которые фундаментально неверны, этот является наиболее правдоподобным.

в

На этом графике изображена возрастающая функция, что противоречит свойству убывания производной. Кроме того, она меняет знак с минуса на плюс, что соответствовало бы точке минимума, а не максимума. Следовательно, этот график не подходит.

г

На этом графике функция сначала возрастает, а затем убывает. Это противоречит тому, что производная $ f'(x) $ должна быть монотонно убывающей функцией. Следовательно, этот график не подходит.

Сравнивая все варианты, мы видим, что только график б удовлетворяет ключевому требованию: производная функции с выпуклостью вверх должна быть убывающей функцией. Он также правильно отражает смену знака производной (с положительного на отрицательный), что соответствует наличию максимума у исходной функции.

Ответ: б.