Номер 41.3, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7;$

2) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x};$

3) $f(x) = x + \frac{9}{x};$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}.$

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Сначала найдем область определения. Так как это многочлен, область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Теперь найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 0 = x^3 - x^2$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x - 1) = 0$.
Критическими точками являются $x = 0$ и $x = 1$.
Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.
- На интервале $(-\infty, 0)$, возьмем $x = -1$: $f'(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 = -1 - 1 = -2 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, 1)$, возьмем $x = 0.5$: $f'(0.5) = (0.5)^3 - (0.5)^2 = 0.125 - 0.25 = -0.125 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, возьмем $x = 2$: $f'(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4 > 0$. Функция возрастает.
Поскольку функция непрерывна в точках $x=0$ и $x=1$, мы можем объединить промежутки убывания.
Промежуток возрастания: $[1, +\infty)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.
Приведем производную к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{2x^3 - 2}{x^2}$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x^3 - 2}{x^2} = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$2x^3 - 2 = 0 \Rightarrow 2x^3 = 2 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$.
Производная не определена в точке $x = 0$, которая также является точкой разрыва для самой функции.
Точки $x=0$ и $x=1$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.
Определим знак $f'(x) = \frac{2(x^3-1)}{x^2}$ на каждом интервале. Знак производной зависит только от знака числителя $(x^3-1)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.
- На интервале $(-\infty, 0)$: $x^3-1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, 1)$: $x^3-1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$: $x^3-1 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
Промежутки возрастания: $[1, +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$.

3) Для функции $f(x) = x + \frac{9}{x}$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + 9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0$.
$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = -3$ и $x = 3$.
Точка $x=0$ — точка разрыва функции.
Точки $x=-3, x=0, x=3$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.
Определим знак $f'(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2}$. Знак зависит от знака числителя $x^2 - 9$.
- На интервале $(-\infty, -3)$: $x^2 - 9 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-3, 0)$: $x^2 - 9 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0, 3)$: $x^2 - 9 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(3, +\infty)$: $x^2 - 9 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
Промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$.
Промежутки убывания: $[-3, 0)$ и $(0, 3]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$ и убывает на промежутках $[-3, 0)$ и $(0, 3]$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}$ найдем промежутки возрастания и убывания.
Область определения функции: $3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.
Заметим, что числитель является полным квадратом: $f(x) = \frac{(x-1)^2}{3-x}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{((x-1)^2)'(3-x) - (x-1)^2(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{2(x-1)(3-x) - (x-1)^2(-1)}{(3-x)^2}$.
$f'(x) = \frac{(x-1)[2(3-x) + (x-1)]}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(6 - 2x + x - 1)}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(5-x)}{(3-x)^2} = \frac{-x^2+6x-5}{(3-x)^2}$.
Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow (x-1)(5-x) = 0$.
Критическими точками являются $x = 1$ и $x = 5$.
Точка $x=3$ — точка разрыва функции.
Точки $x=1, x=3, x=5$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, $(3, 5)$ и $(5, +\infty)$.
Определим знак $f'(x) = \frac{(x-1)(5-x)}{(3-x)^2}$. Знак зависит от знака числителя $(x-1)(5-x)$, так как знаменатель $(3-x)^2$ всегда положителен.
- На интервале $(-\infty, 1)$: $(x-1) < 0$ и $(5-x) > 0$, произведение отрицательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1, 3)$: $(x-1) > 0$ и $(5-x) > 0$, произведение положительно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(3, 5)$: $(x-1) > 0$ и $(5-x) > 0$, произведение положительно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(5, +\infty)$: $(x-1) > 0$ и $(5-x) < 0$, произведение отрицательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
Промежутки возрастания: $[1, 3)$ и $(3, 5]$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[1, 3)$ и $(3, 5]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.