Номер 40.29, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.29. При каких значениях $a$ прямая $y = ax + 1$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$?

Для того чтобы прямая $y = ax + 1$ была касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$ в некоторой точке с абсциссой $x_0$, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Значения функции и прямой в точке касания должны быть равны: $f(x_0) = ax_0 + 1$.
2. Угловой коэффициент прямой (равный $a$) должен быть равен значению производной функции в точке касания: $a = f'(x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = (\sqrt{4x + 1})' = ((4x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4x+1)^{-1/2} \cdot (4x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{4x+1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}$

Теперь составим систему уравнений на основе двух условий касания в точке $x_0$:

$\begin{cases}\sqrt{4x_0 + 1} = ax_0 + 1 & (1) \\a = \frac{2}{\sqrt{4x_0 + 1}} & (2)\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\sqrt{4x_0 + 1}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю, то должно выполняться условие $a > 0$.

$\sqrt{4x_0 + 1} = \frac{2}{a}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы (1):

$\frac{2}{a} = ax_0 + 1$

Чтобы найти $x_0$, возведем в квадрат обе части выражения $\sqrt{4x_0 + 1} = \frac{2}{a}$:

$4x_0 + 1 = \frac{4}{a^2}$

$4x_0 = \frac{4}{a^2} - 1$

$x_0 = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{4}$

Теперь подставим полученное выражение для $x_0$ в уравнение $\frac{2}{a} = ax_0 + 1$:

$\frac{2}{a} = a \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{4}\right) + 1$

$\frac{2}{a} = \frac{a}{a^2} - \frac{a}{4} + 1$

$\frac{2}{a} = \frac{1}{a} - \frac{a}{4} + 1$

Упростим уравнение, перенеся все члены в одну сторону:

$\frac{2}{a} - \frac{1}{a} + \frac{a}{4} - 1 = 0$

$\frac{1}{a} + \frac{a}{4} - 1 = 0$

Для избавления от знаменателей умножим обе части уравнения на $4a$ (так как $a \neq 0$):

$4a \cdot \frac{1}{a} + 4a \cdot \frac{a}{4} - 4a \cdot 1 = 0$

$4 + a^2 - 4a = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде:

$a^2 - 4a + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(a - 2)^2 = 0$

Отсюда находим единственное возможное значение для $a$:

$a - 2 = 0 \implies a = 2$

Полученное значение $a=2$ удовлетворяет ранее установленному условию $a > 0$.

Ответ: $a=2$.