Номер 40.32, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.32. Найдите уравнение общей касательной к графикам функций $f(x) = x^2 + 4x + 8$ и $g(x) = x^2 + 8x + 4$.

Пусть уравнение общей касательной к графикам функций $f(x)$ и $g(x)$ имеет вид $y = kx + b$.

Пусть эта касательная касается графика функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_1$, а графика функции $g(x)$ — в точке с абсциссой $x_2$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ в общем виде: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Найдем производные заданных функций:

$f'(x) = (x^2 + 4x + 8)' = 2x + 4$

$g'(x) = (x^2 + 8x + 4)' = 2x + 8$

Так как касательная общая, то ее угловой коэффициент $k$ должен быть равен значению производных в точках касания:

$k = f'(x_1) = 2x_1 + 4$

$k = g'(x_2) = 2x_2 + 8$

Отсюда следует, что угловые коэффициенты равны:

$2x_1 + 4 = 2x_2 + 8$

$2x_1 - 2x_2 = 4$

$x_1 - x_2 = 2 \implies x_1 = x_2 + 2$

Теперь запишем уравнения касательных в развернутом виде $y = kx + b$.

Для функции $f(x)$ в точке $x_1$:

$y = f'(x_1)x + (f(x_1) - x_1f'(x_1))$

Следовательно, $b = f(x_1) - x_1f'(x_1) = (x_1^2 + 4x_1 + 8) - x_1(2x_1 + 4) = x_1^2 + 4x_1 + 8 - 2x_1^2 - 4x_1 = -x_1^2 + 8$.

Для функции $g(x)$ в точке $x_2$:

$y = g'(x_2)x + (g(x_2) - x_2g'(x_2))$

Следовательно, $b = g(x_2) - x_2g'(x_2) = (x_2^2 + 8x_2 + 4) - x_2(2x_2 + 8) = x_2^2 + 8x_2 + 4 - 2x_2^2 - 8x_2 = -x_2^2 + 4$.

Так как касательная общая, то свободные члены $b$ у этих уравнений должны быть равны:

$-x_1^2 + 8 = -x_2^2 + 4$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x_1 = x_2 + 2 \\ -x_1^2 + 8 = -x_2^2 + 4 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$-(x_2 + 2)^2 + 8 = -x_2^2 + 4$

$-(x_2^2 + 4x_2 + 4) + 8 = -x_2^2 + 4$

$-x_2^2 - 4x_2 - 4 + 8 = -x_2^2 + 4$

$-x_2^2 - 4x_2 + 4 = -x_2^2 + 4$

$-4x_2 = 0$

$x_2 = 0$

Теперь найдем $x_1$:

$x_1 = x_2 + 2 = 0 + 2 = 2$

Зная $x_1$ и $x_2$, мы можем найти коэффициенты $k$ и $b$ уравнения касательной $y = kx + b$.

Найдем угловой коэффициент $k$ (используя, например, $x_2$):

$k = g'(x_2) = 2x_2 + 8 = 2(0) + 8 = 8$

Найдем свободный член $b$ (используя, например, $x_2$):

$b = -x_2^2 + 4 = -(0)^2 + 4 = 4$

Таким образом, уравнение общей касательной имеет вид:

$y = 8x + 4$

Ответ: $y = 8x + 4$