Вопросы?, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Сформулируйте теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа.

2. Сформулируйте признаки постоянства, возрастания, убывания функции.

1. Сформулируйте теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема в этой точке. Если $x_0$ является точкой локального экстремума (максимума или минимума) функции $f(x)$, то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.
Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке локального экстремума, если она существует, параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля
Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке $[a, b]$;
2. дифференцируема на интервале $(a, b)$;
3. принимает равные значения на концах отрезка, то есть $f(a) = f(b)$.
Тогда на интервале $(a, b)$ найдётся хотя бы одна точка $c$, в которой производная функции равна нулю: $f'(c) = 0$.
Геометрический смысл: если гладкая кривая соединяет две точки с одинаковой ординатой, то на этой кривой найдётся хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа (о среднем значении)
Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке $[a, b]$;
2. дифференцируема на интервале $(a, b)$.
Тогда на интервале $(a, b)$ найдётся хотя бы одна точка $c$, такая, что выполняется равенство: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Геометрический смысл: на дуге кривой, соединяющей точки $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$, найдётся хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки $A$ и $B$.

Ответ: Выше приведены формулировки теорем Ферма, Ролля и Лагранжа.

2. Сформулируйте признаки постоянства, возрастания, убывания функции.

Признаки формулируются для функции $f(x)$, которая непрерывна на некотором промежутке $I$ и дифференцируема во всех его внутренних точках.

Признак постоянства функции
Если производная функции равна нулю во всех внутренних точках промежутка $I$, то есть $f'(x) = 0$ для любого $x$ из внутренности $I$, то функция является постоянной на этом промежутке ($f(x) = C$).

Признак возрастания функции
Если производная функции положительна во всех внутренних точках промежутка $I$, то есть $f'(x) > 0$ для любого $x$ из внутренности $I$, то функция строго возрастает на этом промежутке.

Признак убывания функции
Если производная функции отрицательна во всех внутренних точках промежутка $I$, то есть $f'(x) < 0$ для любого $x$ из внутренности $I$, то функция строго убывает на этом промежутке.

Ответ: Выше приведены признаки постоянства, возрастания и убывания функции на промежутке, основанные на знаке её производной.