gdz.top
Номер 40.30, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 40. Уравнение касательной - номер 40.30, страница 308.
№40.29
№40.30 (с. 308)
Условие. №40.30 (с. 308)
40.30. При каких значениях $a$ прямая $y = 2x + a$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$?
Решение. №40.30 (с. 308)
Для того чтобы прямая $y = 2x + a$ являлась касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$, необходимо выполнение двух условий в точке касания $x_0$:
1. Значение производной функции в точке $x_0$ должно быть равно угловому коэффициенту касательной.
2. Точка касания $(x_0, f(x_0))$ должна лежать на касательной.
Угловой коэффициент данной прямой $y = 2x + a$ равен $k=2$.
Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$:
$f'(x) = (\sqrt{4x-1})' = ((4x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4x-1)^{-1/2} \cdot (4x-1)' = \frac{1}{2\sqrt{4x-1}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-1}}$.
Теперь, используя первое условие, приравняем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 2$
$\frac{2}{\sqrt{4x_0-1}} = 2$
Разделим обе части на 2:
$\frac{1}{\sqrt{4x_0-1}} = 1$
$\sqrt{4x_0-1} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$4x_0-1 = 1$
$4x_0 = 2$
$x_0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = \frac{1}{2}$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{2}) = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}; 1)$.
Используя второе условие, подставим координаты точки касания в уравнение прямой $y = 2x + a$, чтобы найти значение $a$:
$1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + a$
$1 = 1 + a$
$a = 0$.
Следовательно, при $a=0$ прямая $y=2x$ является касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x-1}$.
Ответ: $a=0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 40.30 расположенного на странице 308 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №40.30 (с. 308), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.