Номер 41.14, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.14. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x}$;

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}$.

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

1. Найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 + 4x \ge 0$

$x(x + 4) \ge 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что область определения функции есть объединение промежутков: $D(f) = (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x}} \cdot (x^2 + 4x)' = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}}$.

Производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения, кроме точек $x=-4$ и $x=0$, где знаменатель обращается в ноль.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Отсюда $x + 2 = 0$, что дает $x = -2$. Однако точка $x = -2$ не входит в область определения функции, так как $(-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Следовательно, у функции нет стационарных точек.

4. Исследуем знак производной на интервалах области определения $(-\infty, -4)$ и $(0, +\infty)$.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x + 2$, так как знаменатель $\sqrt{x^2 + 4x}$ всегда положителен.

При $x \in (-\infty, -4)$, числитель $x + 2 < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. На этом промежутке функция убывает.

При $x \in (0, +\infty)$, числитель $x + 2 > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. На этом промежутке функция возрастает.

Так как функция непрерывна в точках $x = -4$ и $x = 0$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -4]$.

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}$

Действуем аналогично первому пункту.

1. Найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6x - x^2 \ge 0$

$x(6 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, получаем, что область определения функции: $D(f) = [0, 6]$.

2. Найдем производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{6x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{6x - x^2}} \cdot (6x - x^2)' = \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}}$.

Производная $f'(x)$ существует на интервале $(0, 6)$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}} = 0$

Отсюда $3 - x = 0$, что дает $x = 3$. Эта точка принадлежит области определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, 3)$ и $(3, 6)$.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $3 - x$.

При $x \in (0, 3)$, числитель $3 - x > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. На этом промежутке функция возрастает.

При $x \in (3, 6)$, числитель $3 - x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. На этом промежутке функция убывает.

Так как функция непрерывна в точках $x = 0$, $x = 3$ и $x = 6$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 3]$ и убывает на промежутке $[3, 6]$.