Номер 41.18, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.18. При каких значениях параметра a является возрастающей функция:

1) $y = x^3 - ax;$

2) $y = 3\sin 4x + ax;$

3) $y = -2\sqrt{1-x} + ax;$

4) $y = \frac{x^3}{3} + 2(a+1)x^2 + 9x - 4? $

1) $y = x^3 - ax$

Функция является возрастающей на своей области определения, если ее производная неотрицательна для всех значений аргумента из этой области. Область определения данной функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$).

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - ax)' = 3x^2 - a$.

Для того чтобы функция возрастала, должно выполняться условие $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$3x^2 - a \ge 0$

$3x^2 \ge a$

Это неравенство должно быть верным для любого значения $x$. Левая часть неравенства, $3x^2$, является параболой с ветвями вверх, и ее наименьшее значение равно 0 (при $x=0$). Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, параметр $a$ должен быть не больше наименьшего значения левой части.

Следовательно, $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

2) $y = 3\sin 4x + ax$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Найдем производную:

$y' = (3\sin 4x + ax)' = 3 \cdot (\cos 4x) \cdot 4 + a = 12\cos 4x + a$.

Условие возрастания функции: $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$12\cos 4x + a \ge 0$

$a \ge -12\cos 4x$

Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Множество значений функции $\cos 4x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, множество значений выражения $-12\cos 4x$ — это отрезок $[-12, 12]$.

Чтобы неравенство $a \ge -12\cos 4x$ было верным для всех $x$, значение $a$ должно быть не меньше наибольшего значения выражения $-12\cos 4x$. Наибольшее значение $-12\cos 4x$ равно 12.

Следовательно, $a \ge 12$.

Ответ: $a \in [12, +\infty)$.

3) $y = -2\sqrt{1-x} + ax$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0$, что означает $x \le 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1]$.

Найдем производную функции:

$y' = (-2\sqrt{1-x} + ax)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) + a = \frac{1}{\sqrt{1-x}} + a$.

Производная определена для $x < 1$. Условие возрастания функции: $y' \ge 0$ для всех $x \in (-\infty, 1)$.

$\frac{1}{\sqrt{1-x}} + a \ge 0$

$a \ge -\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

Это неравенство должно выполняться для всех $x < 1$. Проанализируем выражение $g(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x}}$. При $x \to -\infty$, $g(x) \to 0$. При $x \to 1^-$, $g(x) \to -\infty$. Множество значений $g(x)$ на интервале $(-\infty, 1)$ — это $(-\infty, 0)$.

Чтобы неравенство $a \ge g(x)$ выполнялось для всех $x < 1$, параметр $a$ должен быть больше или равен точной верхней грани (supremum) множества значений $g(x)$. Точная верхняя грань для интервала $(-\infty, 0)$ равна 0.

Следовательно, $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

4) $y = \frac{x^3}{3} + 2(a+1)x^2 + 9x - 4$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Найдем производную:

$y' = (\frac{x^3}{3} + 2(a+1)x^2 + 9x - 4)' = x^2 + 4(a+1)x + 9$.

Условие возрастания функции: $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$x^2 + 4(a+1)x + 9 \ge 0$

Выражение в левой части — это квадратичная функция от $x$, график которой — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Эта парабола будет целиком находиться не ниже оси абсцисс, если у соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4(a+1)x + 9 = 0$ будет не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ неположителен ($D \le 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (4(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16(a+1)^2 - 36$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$16(a+1)^2 - 36 \le 0$

$16(a+1)^2 \le 36$

$(a+1)^2 \le \frac{36}{16}$

$(a+1)^2 \le \frac{9}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$|a+1| \le \frac{3}{2}$

Это равносильно двойному неравенству:

$-\frac{3}{2} \le a+1 \le \frac{3}{2}$

Вычтем 1 из всех частей:

$-\frac{3}{2} - 1 \le a \le \frac{3}{2} - 1$

$-\frac{5}{2} \le a \le \frac{1}{2}$

Ответ: $a \in [-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}]$.