Номер 41.22, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.22. Докажите неравенство $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$.

Для доказательства данного неравенства $ \cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2} $ преобразуем его к виду $ \cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0 $ и рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2} - 1 $. Наша задача — доказать, что $ f(x) \ge 0 $ для всех действительных значений $ x $.

Для исследования функции найдем ее первую и вторую производные.

Первая производная: $ f'(x) = (\cos x + \frac{x^2}{2} - 1)' = -\sin x + \frac{2x}{2} = x - \sin x $.

Вторая производная: $ f''(x) = (x - \sin x)' = 1 - \cos x $.

Проанализируем знак второй производной. Поскольку область значений функции косинуса $ [-1; 1] $, то есть $ -1 \le \cos x \le 1 $, то для выражения $ 1 - \cos x $ мы имеем: $ 1 - 1 \le 1 - \cos x \le 1 - (-1) $, что дает $ 0 \le 1 - \cos x \le 2 $. Следовательно, $ f''(x) = 1 - \cos x \ge 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Так как вторая производная $ f''(x) $ неотрицательна на всей числовой оси, то первая производная $ f'(x) $ является неубывающей функцией. Найдем значение $ f'(x) $ в точке $ x = 0 $: $ f'(0) = 0 - \sin 0 = 0 $.

Поскольку $ f'(x) $ не убывает и $ f'(0) = 0 $, мы можем сделать вывод о знаке $ f'(x) $:

• при $ x \ge 0 $ выполняется $ f'(x) \ge f'(0) $, то есть $ f'(x) \ge 0 $;
• при $ x \le 0 $ выполняется $ f'(x) \le f'(0) $, то есть $ f'(x) \le 0 $.

Знак первой производной определяет поведение исходной функции $ f(x) $:

• на промежутке $ (-\infty, 0] $ функция $ f(x) $ не возрастает (убывает), так как $ f'(x) \le 0 $;
• на промежутке $ [0, +\infty) $ функция $ f(x) $ не убывает (возрастает), так как $ f'(x) \ge 0 $.

Таким образом, в точке $ x = 0 $ функция $ f(x) $ достигает своего наименьшего (минимального) значения.

Вычислим это минимальное значение: $ f(0) = \cos 0 + \frac{0^2}{2} - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 $.

Поскольку минимальное значение функции $ f(x) $ равно 0, то для любого действительного $ x $ выполняется неравенство $ f(x) \ge 0 $. Это означает, что $ \cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0 $, откуда следует доказываемое неравенство $ \cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2} $.

Ответ: Неравенство доказано.