Номер 41.27, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.27. Решите неравенство $x^7 + 3x > 2x^4 + 2$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить неравенство вида $f(x) > 0$.

$x^7 + 3x - 2x^4 - 2 > 0$

$x^7 - 2x^4 + 3x - 2 > 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^7 - 2x^4 + 3x - 2$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) > 0$.

Для начала найдем корни уравнения $f(x) = 0$. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (числа -2), то есть среди $\pm 1, \pm 2$.

Проверим $x=1$:

$f(1) = 1^7 - 2 \cdot 1^4 + 3 \cdot 1 - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$.

Таким образом, $x=1$ является корнем уравнения $f(x) = 0$.

Теперь исследуем поведение функции $f(x)$ с помощью ее производной, чтобы определить, есть ли другие корни и как функция ведет себя на числовой оси.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^7 - 2x^4 + 3x - 2)' = 7x^6 - 8x^3 + 3$.

Чтобы определить знак производной, сделаем замену $t = x^3$. Тогда выражение для производной примет вид квадратного трехчлена относительно $t$:

$g(t) = 7t^2 - 8t + 3$.

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 64 - 84 = -20$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=7 > 0$, квадратный трехчлен $7t^2 - 8t + 3$ принимает только положительные значения при любых значениях $t$.

Поскольку $t=x^3$ и $7t^2 - 8t + 3 > 0$ для всех $t$, то и производная $f'(x) = 7x^6 - 8x^3 + 3$ всегда положительна для всех действительных значений $x$.

Если производная функции $f'(x) > 0$ на всей числовой оси, то функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Мы уже нашли, что $f(1) = 0$, следовательно, $x=1$ — единственный корень уравнения $f(x) = 0$.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает и обращается в ноль при $x=1$, то:

• при $x > 1$ значения функции будут больше нуля, то есть $f(x) > 0$;
• при $x < 1$ значения функции будут меньше нуля, то есть $f(x) < 0$.

Нас интересует решение неравенства $f(x) > 0$, которое выполняется при $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$