gdz.top
Номер 41.23, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 41. Признаки возрастания и убывания функции - номер 41.23, страница 320.
№41.22
№41.23 (с. 320)
Условие. №41.23 (с. 320)
41.23. Докажите неравенство $x < \operatorname{tg} x$, где $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.
Решение. №41.23 (с. 320)
Для доказательства неравенства $x < \operatorname{tg} x$ на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ введем в рассмотрение вспомогательную функцию $f(x) = \operatorname{tg} x - x$. Наша задача — доказать, что $f(x) > 0$ для всех $x$ из указанного интервала.
Для этого исследуем поведение функции с помощью ее производной. Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$:
$f'(x) = (\operatorname{tg} x - x)' = (\operatorname{tg} x)' - (x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы можем преобразовать выражение для производной:
$f'(x) = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x$
Теперь определим знак производной $f'(x)$ на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $\operatorname{tg} x$ определена и принимает строго положительные значения (то есть $\operatorname{tg} x > 0$). Следовательно, ее квадрат $\operatorname{tg}^2 x$ также будет строго положителен.
Таким образом, $f'(x) = \operatorname{tg}^2 x > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку производная функции $f'(x)$ положительна на всем интервале, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом интервале.
Теперь найдем значение функции на левой границе рассматриваемого промежутка, то есть в точке $x = 0$:
$f(0) = \operatorname{tg} 0 - 0 = 0 - 0 = 0$
Так как функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ и ее значение в точке $x=0$ равно нулю, то для любого $x$ из этого интервала будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$.
$f(x) > 0$
$\operatorname{tg} x - x > 0$
$\operatorname{tg} x > x$
Это равносильно исходному неравенству $x < \operatorname{tg} x$. Таким образом, неравенство доказано для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 41.23 расположенного на странице 320 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №41.23 (с. 320), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.