Номер 41.30, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.30. Решите систему уравнений $ \begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases} $$

Из второго уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 8 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x - 2(8 - x) = \cos(8 - x) - \cos x$.

Упростим левую часть уравнения:

$2x - 16 + 2x = 4x - 16 = 4(x - 4)$.

Преобразуем правую часть, используя формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(8 - x) - \cos x = -2 \sin\frac{(8 - x) + x}{2} \sin\frac{(8 - x) - x}{2} = -2 \sin\frac{8}{2} \sin\frac{8 - 2x}{2} = -2 \sin(4) \sin(4 - x)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, получим:

$-2 \sin(4) \sin(-(x - 4)) = 2 \sin(4) \sin(x - 4)$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$4(x - 4) = 2 \sin(4) \sin(x - 4)$.

Для удобства анализа сделаем замену переменной $z = x - 4$. Уравнение преобразуется к виду:

$4z = 2 \sin(4) \sin(z)$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$4z - 2 \sin(4) \sin(z) = 0$.

Очевидно, что $z = 0$ является решением этого уравнения, так как $4 \cdot 0 - 2 \sin(4) \sin(0) = 0 - 0 = 0$.

Докажем, что это решение является единственным. Рассмотрим функцию $f(z) = 4z - 2 \sin(4) \sin(z)$. Нам нужно найти все корни уравнения $f(z) = 0$.

Найдем производную этой функции по $z$:

$f'(z) = (4z - 2 \sin(4) \sin(z))' = 4 - 2 \sin(4) \cos(z)$.

Оценим значение производной. Угол 4 дан в радианах. Так как $\pi \approx 3.14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, то $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $. Угол 4 радиана находится в третьей четверти, где синус отрицателен, то есть $-1 \le \sin(4) < 0$.

Коэффициент $-2 \sin(4)$ является положительной константой, причем $0 < -2 \sin(4) \le 2$.

Значение $\cos(z)$ находится в пределах от -1 до 1. Оценим минимальное значение производной $f'(z)$:

$f'(z) = 4 - 2 \sin(4) \cos(z)$.

Так как $-2 \sin(4) > 0$ и $\cos(z) \ge -1$, то:

$-2 \sin(4) \cos(z) \ge -2 \sin(4) \cdot (-1) = 2 \sin(4)$.

Следовательно, $f'(z) \ge 4 + 2 \sin(4)$.

Поскольку $-1 \le \sin(4) < 0$, то $4 + 2 \sin(4) \ge 4 + 2(-1) = 2$.

Таким образом, $f'(z) \ge 2 > 0$ для всех действительных значений $z$.

Поскольку производная функции $f(z)$ всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго возрастающая функция может принимать любое свое значение, в том числе и ноль, не более одного раза. Так как мы уже нашли, что $f(0) = 0$, то $z = 0$ является единственным решением уравнения.

Вернемся к замене:

$z = x - 4 \implies 0 = x - 4 \implies x = 4$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из второго уравнения исходной системы:

$y = 8 - x = 8 - 4 = 4$.

Единственным решением системы является пара чисел $(4, 4)$.

Ответ: $(4, 4)$.