Номер 42.4, страница 328 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.4. Имеет ли критические точки функция:

1) $f(x) = x;$

2) $f(x) = x^5 + 1;$

3) $f(x) = 5;$

4) $f(x) = \sin x;$

5) $f(x) = \operatorname{tg} x;$

6) $f(x) = \sqrt{x}?$

Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Проанализируем каждую функцию согласно этому определению.

1) $f(x)=x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (x)' = 1$. Производная существует при всех значениях $x$ и нигде не обращается в ноль, так как $f'(x) = 1 \neq 0$. Следовательно, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, не имеет.

2) $f(x)=x^5+1$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (x^5+1)' = 5x^4$. Производная существует при всех значениях $x$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $5x^4 = 0$. Решением этого уравнения является $x = 0$. Точка $x=0$ является внутренней точкой области определения. Таким образом, функция имеет критическую точку.

Ответ: да, имеет (точка $x=0$).

3) $f(x)=5$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (5)' = 0$. Производная существует и равна нулю при всех значениях $x$ из области определения. Следовательно, каждая точка области определения является критической.

Ответ: да, имеет (любая точка $x \in \mathbb{R}$).

4) $f(x)=\sin x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Производная существует при всех значениях $x$. Приравняем производную к нулю: $\cos x = 0$. Решениями этого уравнения являются точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все эти точки являются внутренними точками области определения. Таким образом, функция имеет бесконечно много критических точек.

Ответ: да, имеет (точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$).

5) $f(x)=\tg x$

Область определения функции $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Производная существует во всех точках области определения функции $f(x)$. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{\cos^2 x} = 0$, не имеет решений. Точки, в которых производная не существует (где $\cos x = 0$), не принадлежат области определения функции. Следовательно, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, не имеет.

6) $f(x)=\sqrt{x}$

Область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$. Внутренними точками этой области являются точки интервала $(0; +\infty)$. Точка $x=0$ является граничной, а не внутренней точкой. Найдём производную: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. На интервале $(0; +\infty)$ производная существует и нигде не равна нулю. В точке $x=0$ производная не существует, но так как эта точка не является внутренней точкой области определения, она по определению не является критической. Следовательно, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, не имеет.