Страница 328 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.2. На рисунке 42.19 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-7; 7]$. Укажите: 1) критические точки функции; 2) точки минимума; 3) точки максимума.

Рис. 42.19

1) критические точки функции

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

На графике находим точки, где касательная горизонтальна (производная равна нулю, $f'(x)=0$). Это точки с гладкими вершинами: $x = -2$ и $x = 2$.

Также находим точки, где график имеет излом (производная не существует). Это точки $x = -5$ и $x = 6$.

Таким образом, все критические точки данной функции на промежутке $(-7; 7)$ — это $x = -5, x = -2, x = 2, x = 6$.

Ответ: -5; -2; 2; 6.

2) точки минимума

Точки минимума — это точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. На графике это "впадины".

Из графика видно, что в точках $x = -2$ и $x = 6$ убывание функции сменяется возрастанием.

Следовательно, точки минимума: $x = -2$ и $x = 6$.

Ответ: -2; 6.

3) точки максимума

Точки максимума — это точки, в которых убывание функции сменяется возрастанием. На графике это "вершины" или "пики".

Из графика видно, что в точках $x = -5$ и $x = 2$ возрастание функции сменяется убыванием.

Следовательно, точки максимума: $x = -5$ и $x = 2$.

Ответ: -5; 2.

42.3. На рисунке 42.20 укажите график функции, для которой точка $x_0$ является точкой минимума.

а

б

в

г

Рис. 42.20

Точка $x_0$ называется точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для любой точки $x$ из этой окрестности, принадлежащей области определения функции, выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Проанализируем каждый из предложенных графиков.

а) На этом графике изображена непрерывная убывающая функция. Для любой точки $x$ из окрестности $x_0$, такой что $x > x_0$, значение функции будет меньше, чем в точке $x_0$, то есть $f(x) < f(x_0)$. Условие минимума не выполняется.

б) На данном графике точка $x_0$ является правым концом области определения функции. На подходе к $x_0$ слева функция убывает. Это не является точкой минимума, поскольку для этого требуется, чтобы в левой полуокрестности точки $x_0$ значения функции были не меньше $f(x_0)$.

в) На этом графике функция имеет разрыв в точке $x_0$. Значение функции в самой точке $x_0$ (обозначено закрашенным кружком) меньше, чем её предел при $x \to x_0$ (обозначен пустым кружком). Это означает, что существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности ($x \neq x_0$) будет выполняться неравенство $f(x) > f(x_0)$. Таким образом, условие $f(x) \ge f(x_0)$ выполняется для всех $x$ в этой окрестности. Следовательно, $x_0$ является точкой минимума.

г) На этом графике функция также имеет разрыв в точке $x_0$. Однако значение функции в точке $x_0$ (закрашенный кружок) больше, чем её предел при $x \to x_0$ (пустой кружок). Это значит, что в любой окрестности точки $x_0$ можно найти точки $x \neq x_0$, для которых $f(x) < f(x_0)$. Следовательно, $x_0$ не является точкой минимума.

Проанализировав все варианты, мы заключаем, что только на графике в точка $x_0$ является точкой минимума.

Ответ: в.

42.4. Имеет ли критические точки функция:

1) $f(x) = x;$

2) $f(x) = x^5 + 1;$

3) $f(x) = 5;$

4) $f(x) = \sin x;$

5) $f(x) = \operatorname{tg} x;$

6) $f(x) = \sqrt{x}?$

Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Проанализируем каждую функцию согласно этому определению.

1) $f(x)=x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (x)' = 1$. Производная существует при всех значениях $x$ и нигде не обращается в ноль, так как $f'(x) = 1 \neq 0$. Следовательно, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, не имеет.

2) $f(x)=x^5+1$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (x^5+1)' = 5x^4$. Производная существует при всех значениях $x$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $5x^4 = 0$. Решением этого уравнения является $x = 0$. Точка $x=0$ является внутренней точкой области определения. Таким образом, функция имеет критическую точку.

Ответ: да, имеет (точка $x=0$).

3) $f(x)=5$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (5)' = 0$. Производная существует и равна нулю при всех значениях $x$ из области определения. Следовательно, каждая точка области определения является критической.

Ответ: да, имеет (любая точка $x \in \mathbb{R}$).

4) $f(x)=\sin x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Производная существует при всех значениях $x$. Приравняем производную к нулю: $\cos x = 0$. Решениями этого уравнения являются точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все эти точки являются внутренними точками области определения. Таким образом, функция имеет бесконечно много критических точек.

Ответ: да, имеет (точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$).

5) $f(x)=\tg x$

Область определения функции $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$. Все точки области определения являются внутренними. Найдём производную: $f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Производная существует во всех точках области определения функции $f(x)$. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{\cos^2 x} = 0$, не имеет решений. Точки, в которых производная не существует (где $\cos x = 0$), не принадлежат области определения функции. Следовательно, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, не имеет.

6) $f(x)=\sqrt{x}$

Область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$. Внутренними точками этой области являются точки интервала $(0; +\infty)$. Точка $x=0$ является граничной, а не внутренней точкой. Найдём производную: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. На интервале $(0; +\infty)$ производная существует и нигде не равна нулю. В точке $x=0$ производная не существует, но так как эта точка не является внутренней точкой области определения, она по определению не является критической. Следовательно, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, не имеет.

42.5. На рисунке 42.21 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Верно ли равенство:

Рис. 42.21

1) $f'(-3) = 0;$

2) $f'(-2) = 0;$

3) $f'(0) = 0;$

4) $f'(1) = 0;$

5) $f'(2) = 0;$

6) $f'(3) = 0?$

Производная функции в точке, $f'(x_0)$, с геометрической точки зрения представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

Равенство $f'(x_0) = 0$ означает, что касательная к графику функции в точке $x_0$ параллельна оси абсцисс (горизонтальна). Такое условие выполняется в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), если функция в этих точках дифференцируема.

1) f'(-3) = 0;

В точке $x = -3$ на графике находится локальный минимум функции. В этой точке касательная к графику горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, равенство $f'(-3) = 0$ верно.
Ответ: Верно.

2) f'(-2) = 0;

В точке $x = -2$ на графике находится локальный максимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, следовательно, её угловой коэффициент равен нулю. Равенство $f'(-2) = 0$ верно.
Ответ: Верно.

3) f'(0) = 0;

В точке $x = 0$ функция убывает, график пересекает ось ординат под углом. Касательная к графику в этой точке имеет отрицательный наклон, то есть $f'(0) < 0$. Следовательно, равенство $f'(0) = 0$ неверно.
Ответ: Неверно.

4) f'(1) = 0;

В точке $x = 1$ график функции имеет излом (острую вершину). В таких точках функция не является дифференцируемой, а значит, производная $f'(1)$ не существует. Следовательно, равенство $f'(1) = 0$ неверно.
Ответ: Неверно.

5) f'(2) = 0;

В точке $x = 2$ функция возрастает. Касательная к графику в этой точке имеет положительный наклон, то есть $f'(2) > 0$. Следовательно, равенство $f'(2) = 0$ неверно.
Ответ: Неверно.

6) f'(3) = 0?

В точке $x = 3$ на графике находится локальный максимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, следовательно, её угловой коэффициент равен нулю. Равенство $f'(3) = 0$ верно.
Ответ: Верно.