Страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.24. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$;

3) $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$.

1) $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - x \ge 0$, откуда $x \le 1$. Область определения $D(f) = (-\infty, 1]$.

Теперь найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{1-x} + x^2(\sqrt{1-x})' = 2x\sqrt{1-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{1-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{1-x}}$.

Приведем производную к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{1-x} \cdot 2\sqrt{1-x} - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x(1-x) - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 5x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{x(4 - 5x)}{2\sqrt{1-x}}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и найдя точки, где она не существует.
$f'(x) = 0$ при $x(4 - 5x) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/5$. Обе точки принадлежат области определения.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{1-x} = 0$, то есть при $x = 1$. Эта точка также является критической и является концом области определения.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 4/5)$ и $(4/5, 1)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(4 - 5x)$, так как знаменатель $2\sqrt{1-x}$ положителен при $x < 1$.
- При $x \in (-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 4/5)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (4/5, 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, 4/5]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4/5, 1]$. Точка $x=0$ является точкой минимума. Точка $x=4/5$ является точкой максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 4/5]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4/5, 1]$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 4/5$.

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Знаменатель не должен быть равен нулю, $x+1 \ne 0$, что всегда верно для $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0, \infty)$.

Найдем производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'(x+1) - \sqrt{x}(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2}$.

Упростим числитель выражения для производной:
$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x}}{1} = \frac{x+1 - 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$.
Тогда производная равна:
$f'(x) = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Найдем критические точки.
$f'(x) = 0$ при $1 - x = 0$, то есть $x = 1$. Эта точка принадлежит области определения.
Производная не существует при $x = 0$. Эта точка является началом области определения и также является критической.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}(x+1)^2$ положителен при $x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $1-x$.
- При $x \in (0, 1)$: $1-x > 0$, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1, \infty)$: $1-x < 0$, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$. Точка $x=0$ является точкой минимума (как начало интервала возрастания). Точка $x=1$ является точкой максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$, убывает на промежутке $[1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 1$.

3) $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $3 - x > 0$, откуда $x < 3$. Область определения $D(f) = (-\infty, 3)$.

Найдем производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x-7)'\sqrt{3-x} - (2x-7)(\sqrt{3-x})'}{(\sqrt{3-x})^2} = \frac{2\sqrt{3-x} - (2x-7) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}}}{3-x}$.

Приведем числитель к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{\frac{2\sqrt{3-x} \cdot 2\sqrt{3-x} + (2x-7)}{2\sqrt{3-x}}}{3-x} = \frac{4(3-x) + 2x - 7}{2(3-x)\sqrt{3-x}} = \frac{12 - 4x + 2x - 7}{2(3-x)^{3/2}} = \frac{5 - 2x}{2(3-x)^{3/2}}$.

Найдем критические точки. $f'(x) = 0$ при $5 - 2x = 0$, то есть $x = 5/2 = 2.5$. Эта точка принадлежит области определения.
Производная не существует при $x = 3$, но эта точка не входит в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 2.5)$ и $(2.5, 3)$. Знаменатель $2(3-x)^{3/2}$ положителен в области определения, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $5-2x$.
- При $x \in (-\infty, 2.5)$: $5-2x > 0$, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2.5, 3)$: $5-2x < 0$, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2.5]$ и убывает на промежутке $[2.5, 3)$. Точка $x=2.5$ является точкой максимума. Точек минимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2.5]$, убывает на промежутке $[2.5, 3)$; точка максимума $x_{max} = 2.5$.

42.25. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2 \sqrt{x+2};$

2) $f(x) = (x-2)^2 \sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}.$

1) $f(x) = x^2\sqrt{x+2}$

1. Найдём область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Область определения: $D(f) = [-2; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'\sqrt{x+2} + x^2(\sqrt{x+2})' = 2x\sqrt{x+2} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

Приведём к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{x+2} + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x(x+2) + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x^2+8x+x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{5x^2+8x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}}$

3. Найдём критические точки.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

а) $f'(x) = 0$:

$\frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}} = 0 \implies x(5x+8) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = -8/5 = -1.6$. Обе точки принадлежат области определения.

б) $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{x+2} = 0 \implies x = -2$. Эта точка является концом области определения.

Критические точки: $-2$, $-1.6$, $0$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Разобьём область определения $[-2; +\infty)$ на интервалы критическими точками: $[-2, -1.6]$, $[-1.6, 0]$, $[0, +\infty)$.

Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x(5x+8)$, так как знаменатель $2\sqrt{x+2}$ положителен при $x > -2$.

• При $x \in (-2; -1.6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1.6; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.

Промежутки возрастания: $[-2; -1.6]$ и $[0; +\infty)$.

Промежуток убывания: $[-1.6; 0]$.

В точке $x = -1.6$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

Точка $x = -2$ является концом промежутка, на котором функция возрастает, поэтому это точка локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2; -1.6]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1.6; 0]$. Точка максимума $x_{max} = -1.6$, точки минимума $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 0$.

2) $f(x) = (x-2)^2\sqrt{x}$

1. Найдём область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Область определения: $D(f) = [0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x-2)^2)'\sqrt{x} + (x-2)^2(\sqrt{x})' = 2(x-2)\sqrt{x} + (x-2)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приведём к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(x-2)\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x-2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x-2) + (x-2)^2}{2\sqrt{x}}$

Вынесем общий множитель $(x-2)$:

$f'(x) = \frac{(x-2)(4x + x-2)}{2\sqrt{x}} = \frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}}$

3. Найдём критические точки.

а) $f'(x) = 0$:

$\frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}} = 0 \implies (x-2)(5x-2) = 0$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 2/5 = 0.4$. Обе точки принадлежат области определения.

б) $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. Эта точка является концом области определения.

Критические точки: $0$, $0.4$, $2$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Разобьём область определения $[0; +\infty)$ на интервалы: $[0, 0.4]$, $[0.4, 2]$, $[2, +\infty)$.

Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $(x-2)(5x-2)$, так как знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен при $x > 0$.

• При $x \in (0; 0.4)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0.4; 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.

Промежутки возрастания: $[0; 0.4]$ и $[2; +\infty)$.

Промежуток убывания: $[0.4; 2]$.

В точке $x = 0.4$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

Точка $x = 0$ является концом промежутка, на котором функция возрастает, поэтому это точка локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 0.4]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[0.4; 2]$. Точка максимума $x_{max} = 0.4$, точки минимума $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 2$.

3) $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$

1. Найдём область определения функции.

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.

Область определения: $D(f) = (1; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(3x+1)'\sqrt{x-1} - (3x+1)(\sqrt{x-1})'}{(\sqrt{x-1})^2} = \frac{3\sqrt{x-1} - (3x+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}$

Умножим числитель и знаменатель на $2\sqrt{x-1}$:

$f'(x) = \frac{3\sqrt{x-1} \cdot 2\sqrt{x-1} - (3x+1)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = \frac{6(x-1) - (3x+1)}{2(x-1)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{6x-6-3x-1}{2(x-1)^{3/2}} = \frac{3x-7}{2(x-1)^{3/2}}$

3. Найдём критические точки.

а) $f'(x) = 0$:

$\frac{3x-7}{2(x-1)^{3/2}} = 0 \implies 3x-7 = 0 \implies x = 7/3$.

Точка $x=7/3$ принадлежит области определения, так как $7/3 > 1$.

б) $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю, т.е. при $x=1$. Но эта точка не входит в область определения.

Единственная критическая точка: $x = 7/3$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Разобьём область определения $(1; +\infty)$ на интервалы: $(1; 7/3)$ и $(7/3; +\infty)$.

Знаменатель $2(x-1)^{3/2}$ всегда положителен в области определения. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $3x-7$.

• При $x \in (1; 7/3)$: $3x-7 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (7/3; +\infty)$: $3x-7 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.

Промежуток убывания: $(1; 7/3]$.

Промежуток возрастания: $[7/3; +\infty)$.

В точке $x = 7/3$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(1; 7/3]$ и возрастает на промежутке $[7/3; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 7/3$.

42.26. Точка $x_0$ — критическая точка функции $f$. Для всех $x < x_0$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$, а для всех $x > x_0$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Может ли точка $x_0$ быть точкой минимума?

По определению, точка $x_0$ является точкой локального минимума функции $f$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

Рассмотрим поведение функции $f$ на основе данных из условия задачи, используя достаточный признак монотонности функции.

1. Для всех $x < x_0$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Это означает, что на интервале $(-\infty, x_0)$ функция $f$ строго возрастает. Таким образом, для любого $x$ из левой окрестности точки $x_0$ будет выполняться неравенство $f(x) < f(x_0)$.

2. Для всех $x > x_0$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Это означает, что на интервале $(x_0, \infty)$ функция $f$ строго убывает. Таким образом, для любого $x$ из правой окрестности точки $x_0$ будет выполняться неравенство $f(x) < f(x_0)$.

Объединив эти два вывода, мы видим, что в некоторой окрестности точки $x_0$ для любого $x \ne x_0$ выполняется неравенство $f(x) < f(x_0)$. Это прямо противоречит определению точки минимума.

На самом деле, описанное поведение функции (возрастание до точки $x_0$ и убывание после нее) соответствует точке максимума. Согласно первому достаточному признаку экстремума, если в критической точке $x_0$ производная меняет знак с плюса на минус, то $x_0$ является точкой максимума.

Ответ: Нет, точка $x_0$ не может быть точкой минимума. При заданных условиях она является точкой максимума.

42.27. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = \sin x \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$.

1) $f(x) = \sin x \sin(x - \frac{\pi}{4})$

Для нахождения точек минимума и максимума функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследуем знак второй производной в этих точках.

Сначала упростим функцию, используя формулу преобразования произведения синусов в сумму:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(x - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) - \cos\left(x + x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} - \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = -\frac{1}{2}\left(-\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot 2 = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

$2x - \frac{\pi}{4} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Для определения характера этих точек найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = \left(\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$

Подставим в нее найденные критические точки. Заметим, что для этих точек $2x - \frac{\pi}{4} = n\pi$.

$f''(x_n) = 2\cos(n\pi)$

1. Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $\cos(2k\pi) = 1$.
$f''(x_{2k}) = 2 \cdot 1 = 2 > 0$. Следовательно, в этих точках функция имеет минимум.
Точки минимума: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2k\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $\cos((2k+1)\pi) = -1$.
$f''(x_{2k+1}) = 2 \cdot (-1) = -2 < 0$. Следовательно, в этих точках функция имеет максимум.
Точки максимума: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{(2k+1)\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + k\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки минимума $x = \frac{\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x = \frac{5\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

Для нахождения точек минимума и максимума функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследуем знак второй производной в этих точках.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы выразить функцию через одну тригонометрическую функцию:

$f(x) = (1 - \cos^2 x) - \cos x = 1 - \cos^2 x - \cos x$

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = (1 - \cos^2 x - \cos x)' = -2\cos x (-\sin x) - (-\sin x) = 2\sin x \cos x + \sin x$

$f'(x) = \sin x (2\cos x + 1)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0 \implies \sin x (2\cos x + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

2. $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Для определения характера этих точек найдем вторую производную $f''(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) + \sin x$

$f''(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x) + \sin x\right)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2 + \cos x = \cos(2x) + \cos x$. Используя формулу двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, получаем:

$f''(x) = 2\cos^2 x - 1 + \cos x$

Теперь исследуем знак второй производной в критических точках:

1. Для точек $x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$: $\cos(k\pi) = (-1)^k$. $f''(k\pi) = 2(\cos(k\pi))^2 - 1 + \cos(k\pi) = 2((-1)^k)^2 - 1 + (-1)^k = 2(1) - 1 + (-1)^k = 1 + (-1)^k$. - Если $k$ четное ($k=2m$), $f''(2m\pi) = 1 + 1 = 2 > 0$, следовательно, это точки минимума. - Если $k$ нечетное ($k=2m+1$), $f''((2m+1)\pi) = 1 - 1 = 0$. В этом случае тест по второй производной не дает результата. Проверим знак первой производной. $f'(x) = \sin x(2\cos x + 1)$. В окрестности точки $x=(2m+1)\pi$, множитель $2\cos x+1$ отрицателен (близок к $2(-1)+1 = -1$). Знак $\sin x$ меняется с «+» на «−» при переходе через эту точку. Таким образом, знак $f'(x)$ меняется с «−» на «+». Значит, $x=(2m+1)\pi$ — точки минимума. Итак, все точки вида $x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ являются точками минимума.

2. Для точек $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$: В этих точках $\cos x = -\frac{1}{2}$. $f''(x) = 2\cos^2 x - 1 + \cos x = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{2} = -1 < 0$. Следовательно, это точки максимума.

Ответ: точки минимума $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

42.28. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = \cos x \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $f(x) = \sqrt{3} \cos x - \sin x - x.$

1) $f(x) = \cos x \cos(x - \frac{\pi}{3})$

Для нахождения точек минимума и максимума функции, сначала найдем ее производную. Чтобы упростить дифференцирование, преобразуем функцию, используя формулу произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

$f(x) = \cos x \cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}(\cos(x - (x - \frac{\pi}{3})) + \cos(x + x - \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(2x - \frac{\pi}{3}))$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то функция принимает вид:

$f(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \cos(2x - \frac{\pi}{3})) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2x - \frac{\pi}{3}))' = 0 + \frac{1}{2}(-\sin(2x - \frac{\pi}{3})) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = \frac{1}{2}(-\sin(2x - \frac{\pi}{3})) \cdot 2 = -\sin(2x - \frac{\pi}{3})$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические (стационарные) точки:

$f'(x) = 0 \implies -\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

$\sin(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.

Отсюда следует, что аргумент синуса равен $k\pi$, где $k$ — любое целое число:

$2x - \frac{\pi}{3} = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{3} + k\pi$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для определения характера критических точек (являются ли они точками минимума или максимума) найдем вторую производную:

$f''(x) = (-\sin(2x - \frac{\pi}{3}))' = -\cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = -2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь исследуем знак второй производной в найденных критических точках. Подставим в нее выражение $2x - \frac{\pi}{3} = k\pi$:

$f''(x_k) = -2\cos(k\pi)$.

1. Если $k$ — четное число ($k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$), то $\cos(k\pi) = \cos(2n\pi) = 1$.
В этом случае $f''(x_{2n}) = -2 \cdot 1 = -2 < 0$. Согласно достаточному условию экстремума, если вторая производная в критической точке отрицательна, то это точка локального максимума.
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $k$ — нечетное число ($k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$), то $\cos(k\pi) = \cos((2n+1)\pi) = -1$.
В этом случае $f''(x_{2n+1}) = -2 \cdot (-1) = 2 > 0$. Если вторая производная в критической точке положительна, то это точка локального минимума.
Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{6} + \frac{(2n+1)\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + n\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 3\pi}{6} + n\pi = \frac{4\pi}{6} + n\pi = \frac{2\pi}{3} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{6} + n\pi$, точки минимума $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = \sqrt{3}\cos x - \sin x - x$

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{3}\cos x - \sin x - x)' = -\sqrt{3}\sin x - \cos x - 1$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0 \implies -\sqrt{3}\sin x - \cos x - 1 = 0$.

$\sqrt{3}\sin x + \cos x = -1$.

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = -\frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Уравнение можно переписать в виде:

$\cos(\frac{\pi}{6})\sin x + \sin(\frac{\pi}{6})\cos x = -\frac{1}{2}$.

Свернем левую часть по формуле синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Решениями этого уравнения являются две серии точек:

1) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $x + \frac{\pi}{6} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2n\pi = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi \implies x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \pi + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь определим тип экстремума в этих критических точках с помощью второй производной.

$f''(x) = (-\sqrt{3}\sin x - \cos x - 1)' = -\sqrt{3}\cos x + \sin x$.

Проверим первую серию точек $x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$:

$f''(-\frac{\pi}{3} + 2n\pi) = -\sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{3} + 2n\pi) + \sin(-\frac{\pi}{3} + 2n\pi) = -\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.
Так как $f''(x) = -\sqrt{3} < 0$, то точки вида $x = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$ являются точками максимума.

Проверим вторую серию точек $x = \pi + 2n\pi$:

$f''(\pi + 2n\pi) = -\sqrt{3}\cos(\pi + 2n\pi) + \sin(\pi + 2n\pi) = -\sqrt{3}(-1) + 0 = \sqrt{3}$.
Так как $f''(x) = \sqrt{3} > 0$, то точки вида $x = \pi + 2n\pi$ являются точками минимума.

Ответ: точки максимума $x_{max} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, точки минимума $x_{min} = \pi + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

42.29. При каких значениях параметра $a$ функция $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a+1}{2}x^2 + (2a^2 + 2a)x - 17$ имеет положительную точку минимума?

Для того чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция имеет положительную точку минимума, необходимо выполнить следующие шаги: найти производную функции, определить ее критические точки, выяснить, какая из них является точкой минимума, и проверить, при каких значениях $a$ эта точка будет положительной.

1. Нахождение производной и критических точек

Исходная функция: $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a+1}{2}x^2 + (2a^2+2a)x - 17$.

Найдем ее первую производную по $x$:

$y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3a+1}{2}x^2 + (2a^2+2a)x - 17\right) = x^2 - (3a+1)x + 2a^2+2a$.

Критические точки функции — это корни уравнения $y' = 0$:

$x^2 - (3a+1)x + 2a^2+2a = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = (-(3a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2+2a) = (9a^2 + 6a + 1) - (8a^2 + 8a) = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Поскольку $D = (a-1)^2 \ge 0$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их:

$x = \frac{3a+1 \pm \sqrt{(a-1)^2}}{2} = \frac{3a+1 \pm (a-1)}{2}$.

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{3a+1 + (a-1)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.

$x_2 = \frac{3a+1 - (a-1)}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

Критические точки функции: $x=2a$ и $x=a+1$.

2. Определение точки минимума

Для существования точки минимума необходимо, чтобы функция имела две различные критические точки, то есть $x_1 \neq x_2$, что означает $2a \neq a+1 \implies a \neq 1$. При $a=1$ производная $y'=(x-2)^2 \ge 0$, и функция не имеет экстремумов.

Производная $y' = (x-2a)(x-(a+1))$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Знак производной меняется с плюса на минус в меньшем корне (точка максимума) и с минуса на плюс в большем корне (точка минимума). Следовательно, точкой минимума является больший из двух корней.

Сравним корни: если $a > 1$, то $2a > a+1$, и точка минимума $x_{min} = 2a$. Если $a < 1$, то $2a < a+1$, и точка минимума $x_{min} = a+1$.

3. Проверка условия положительности точки минимума

Согласно условию задачи, точка минимума должна быть положительной ($x_{min} > 0$).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a > 1$.
Точка минимума $x_{min} = 2a$. Условие $x_{min} > 0$ принимает вид $2a > 0$, то есть $a > 0$.
Пересекая условия $a > 1$ и $a > 0$, получаем $a > 1$.

Случай 2: $a < 1$.
Точка минимума $x_{min} = a+1$. Условие $x_{min} > 0$ принимает вид $a+1 > 0$, то есть $a > -1$.
Пересекая условия $a < 1$ и $a > -1$, получаем $-1 < a < 1$.

4. Итоговый результат

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, и учитывая, что $a \neq 1$, получаем искомый диапазон значений для параметра $a$.

Ответ: $a \in (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

42.30. При каких значениях параметра $a$ функция $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a-1}{2}x^2 + (2a^2 - a)x + 19$ имеет положительную точку минимума?

Для того чтобы функция имела точку минимума, необходимо найти ее производную и приравнять к нулю. Точки, в которых производная равна нулю, являются стационарными (критическими) точками, среди которых могут быть точки минимума, максимума или перегиба.

Исходная функция: $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a - 1}{2}x^2 + (2a^2 - a)x + 19$.

1. Находим первую производную функции по $x$:

$y' = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3a - 1}{2}x^2 + (2a^2 - a)x + 19\right)' = x^2 - 2 \cdot \frac{3a - 1}{2}x + (2a^2 - a) = x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - a)$.

2. Находим стационарные точки, решая уравнение $y' = 0$:

$x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - a) = 0$.

Для существования точки минимума и максимума необходимо, чтобы это квадратное уравнение имело два различных действительных корня. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ строго больше нуля.

$D = (-(3a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - a) = (9a^2 - 6a + 1) - (8a^2 - 4a) = 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Условие $D > 0$ означает $(a - 1)^2 > 0$, что верно для всех $a$, кроме $a = 1$. При $a=1$ дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, и функция не имеет точек экстремума. Итак, $a \neq 1$.

Найдем корни уравнения (стационарные точки):

$x_{1,2} = \frac{(3a - 1) \pm \sqrt{(a - 1)^2}}{2} = \frac{(3a - 1) \pm (a - 1)}{2}$.

$x_1 = \frac{3a - 1 + a - 1}{2} = \frac{4a - 2}{2} = 2a - 1$.

$x_2 = \frac{3a - 1 - (a - 1)}{2} = \frac{3a - 1 - a + 1}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Стационарные точки: $a$ и $2a - 1$.

3. Определяем, какая из точек является точкой минимума.

Для этого можно использовать вторую производную. В точке минимума $y'' > 0$.

$y'' = (x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - a))' = 2x - (3a - 1)$.

Подставим стационарные точки в $y''$:

$y''(a) = 2a - (3a - 1) = 1 - a$.

$y''(2a - 1) = 2(2a - 1) - (3a - 1) = 4a - 2 - 3a + 1 = a - 1$.

Теперь рассмотрим два случая, учитывая, что $a \neq 1$.

Случай 1: $a > 1$

В этом случае $a - 1 > 0$ и $1 - a < 0$.

Поскольку $y''(2a - 1) = a - 1 > 0$, то точка $x = 2a - 1$ является точкой минимума ($x_{min} = 2a - 1$).

Случай 2: $a < 1$

В этом случае $1 - a > 0$ и $a - 1 < 0$.

Поскольку $y''(a) = 1 - a > 0$, то точка $x = a$ является точкой минимума ($x_{min} = a$).

4. Применяем условие, что точка минимума положительна ($x_{min} > 0$).

Рассмотрим оба случая:

Для случая 1 ($a > 1$):

Точка минимума $x_{min} = 2a - 1$. Требуется, чтобы $2a - 1 > 0$, откуда $2a > 1$, то есть $a > \frac{1}{2}$.

Пересекая это условие с условием случая ($a > 1$), получаем $a > 1$.

Для случая 2 ($a < 1$):

Точка минимума $x_{min} = a$. Требуется, чтобы $a > 0$.

Пересекая это условие с условием случая ($a < 1$), получаем $0 < a < 1$.

5. Объединяем результаты.

Функция имеет положительную точку минимума, если $a > 1$ или $0 < a < 1$.

Объединяя эти интервалы, получаем, что $a$ принадлежит объединению $(0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

42.31. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 1$ является точкой минимума функции $y = \frac{x^3}{3} + ax^2 + (a^2 - 4) x + 7$?

Для того чтобы точка $x_0 = 1$ была точкой минимума функции $y = \frac{x^3}{3} + ax^2 + (a^2 - 4)x + 7$, должны выполняться два условия: необходимое и достаточное.

Необходимое условие экстремума

В точке экстремума первая производная функции должна быть равна нулю: $y'(x_0) = 0$.

Найдем первую производную данной функции:

$y'(x) = (\frac{x^3}{3} + ax^2 + (a^2 - 4)x + 7)' = \frac{3x^2}{3} + 2ax + (a^2 - 4) = x^2 + 2ax + a^2 - 4$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в производную и приравняем ее к нулю:

$y'(1) = 1^2 + 2a \cdot 1 + a^2 - 4 = 0$

$1 + 2a + a^2 - 4 = 0$

$a^2 + 2a - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно параметра $a$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются:

$a_1 = 1$

$a_2 = -3$

Таким образом, только при $a=1$ или $a=-3$ точка $x_0=1$ может быть точкой экстремума.

Достаточное условие минимума

Для того чтобы точка $x_0 = 1$ была именно точкой минимума, вторая производная в этой точке должна быть положительной: $y''(x_0) > 0$.

Найдем вторую производную:

$y''(x) = (y'(x))' = (x^2 + 2ax + a^2 - 4)' = 2x + 2a$.

Подставим значение $x_0 = 1$ во вторую производную:

$y''(1) = 2 \cdot 1 + 2a = 2 + 2a$.

Теперь проверим, при каком из найденных значений $a$ выполняется условие $y''(1) > 0$.

При $a = 1$:
$y''(1) = 2 + 2 \cdot 1 = 4$.
Так как $4 > 0$, то при $a = 1$ точка $x_0 = 1$ является точкой минимума.

При $a = -3$:
$y''(1) = 2 + 2 \cdot (-3) = 2 - 6 = -4$.
Так как $-4 < 0$, то при $a = -3$ точка $x_0 = 1$ является точкой максимума, что не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, единственное значение параметра, при котором $x_0 = 1$ является точкой минимума, это $a=1$.

Ответ: $a=1$.

42.32. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 0$ является точкой максимума функции $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + (a^2 - 1)x - 9$?

Для того чтобы точка $x_0 = 0$ являлась точкой максимума функции, должны выполняться два условия: необходимое (первая производная в этой точке равна нулю) и достаточное (вторая производная в этой точке отрицательна).

1. Нахождение первой производной и применение необходимого условия

Данная функция: $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + (a^2 - 1)x - 9$.

Найдем ее первую производную $y'(x)$:

$y'(x) = (\frac{x^3}{3})' - (ax^2)' + ((a^2 - 1)x)' - (9)' = x^2 - 2ax + a^2 - 1$.

Необходимое условие экстремума в точке $x_0 = 0$ — это $y'(0) = 0$. Подставим $x=0$ в выражение для производной:

$y'(0) = 0^2 - 2a(0) + a^2 - 1 = a^2 - 1$.

Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$a^2 - 1 = 0$

$(a - 1)(a + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для параметра $a$: $a = 1$ и $a = -1$.

2. Применение достаточного условия максимума

Чтобы в точке $x_0 = 0$ был именно максимум, а не минимум, вторая производная в этой точке должна быть отрицательной, то есть $y''(0) < 0$.

Найдем вторую производную $y''(x)$, продифференцировав первую производную $y'(x)$:

$y''(x) = (x^2 - 2ax + a^2 - 1)' = 2x - 2a$.

Теперь подставим $x = 0$ в выражение для второй производной:

$y''(0) = 2(0) - 2a = -2a$.

Применим условие $y''(0) < 0$:

$-2a < 0$

Разделим обе части неравенства на $-2$, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:

$a > 0$.

3. Определение итогового значения параметра

Мы получили два условия, которым должен удовлетворять параметр $a$:

1. Из необходимого условия: $a=1$ или $a=-1$.
2. Из достаточного условия: $a > 0$.

Необходимо выбрать значение $a$, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно. Из двух возможных значений ($1$ и $-1$) условию $a > 0$ удовлетворяет только $a = 1$.

Следовательно, точка $x_0=0$ является точкой максимума функции при $a=1$.

Ответ: $a=1$.

42.33. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 1$ является точкой экстремума функции $y = x^3 - ax^2 + (a^2 - 2a)x - 7$?

Для того чтобы точка $x_0 = 1$ являлась точкой экстремума дифференцируемой функции, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю. Это необходимое условие экстремума.

Найдем производную данной функции $y = x^3 - ax^2 + (a^2 - 2a)x - 7$:

$y'(x) = 3x^2 - 2ax + a^2 - 2a$

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной и приравняем его к нулю:

$y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2a \cdot 1 + a^2 - 2a = 0$

$3 - 2a + a^2 - 2a = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно параметра $a$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$a_1 = 1$, $a_2 = 3$

Теперь необходимо проверить достаточное условие экстремума для каждого из найденных значений $a$. Точка является точкой экстремума, если при переходе через нее первая производная меняет свой знак. Для проверки этого условия воспользуемся второй производной. Если $y''(x_0) \neq 0$, то точка $x_0$ является точкой экстремума.

Найдем вторую производную:

$y''(x) = (3x^2 - 2ax + a^2 - 2a)' = 6x - 2a$

Проверим каждое значение $a$:

1. При $a = 1$:

$y''(1) = 6 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 4$

Так как $y''(1) = 4 > 0$, то в точке $x_0 = 1$ функция имеет минимум. Следовательно, $x_0 = 1$ является точкой экстремума. Значение $a=1$ подходит.

2. При $a = 3$:

$y''(1) = 6 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0$

В этом случае тест со второй производной не дает ответа. Исследуем знак первой производной в окрестности точки $x_0 = 1$. Подставим $a=3$ в выражение для $y'(x)$:

$y'(x) = 3x^2 - 2(3)x + (3^2 - 2 \cdot 3) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2$

Выражение $3(x-1)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$. Это означает, что производная $y'(x)$ не меняет знак при переходе через точку $x=1$ (она положительна слева и справа от нее). Таким образом, при $a=3$ точка $x_0=1$ не является точкой экстремума (это точка перегиба с горизонтальной касательной).

Следовательно, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=1$.

Ответ: $a=1$.

42.34. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 2$ является точкой экстремума функции $y = x^3 - 2ax^2 + (2a^2 - 2a)x + 9$?

Для того чтобы точка $x_0 = 2$ была точкой экстремума функции, необходимо, чтобы производная функции в этой точке равнялась нулю. Это необходимое условие экстремума.

Дана функция: $y = x^3 - 2ax^2 + (2a^2 - 2a)x + 9$.

Найдем ее производную по $x$:

$y' = (x^3 - 2ax^2 + (2a^2 - 2a)x + 9)' = 3x^2 - 4ax + 2a^2 - 2a$.

Теперь применим необходимое условие: подставим $x_0 = 2$ в производную и приравняем ее к нулю:

$y'(2) = 3(2)^2 - 4a(2) + 2a^2 - 2a = 0$

$12 - 8a + 2a^2 - 2a = 0$

$2a^2 - 10a + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$a_1 = 2$, $a_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить достаточное условие экстремума для каждого из найденных значений $a$. Точка является точкой экстремума, если при переходе через нее производная меняет свой знак. Если знак производной не меняется, то это точка перегиба.

Для проверки можно исследовать знак первой производной в окрестности точки $x_0=2$ или использовать вторую производную. Если $y''(x_0) \neq 0$, то в точке $x_0$ есть экстремум. Найдем вторую производную:

$y'' = (3x^2 - 4ax + 2a^2 - 2a)' = 6x - 4a$.

Проверим каждое значение $a$:

1. При $a = 2$:

Найдем значение второй производной в точке $x_0 = 2$:

$y''(2) = 6(2) - 4(2) = 12 - 8 = 4$.

Так как $y''(2) = 4 > 0$, то в точке $x_0 = 2$ функция имеет локальный минимум, что является экстремумом. Следовательно, значение $a = 2$ подходит.

2. При $a = 3$:

Найдем значение второй производной в точке $x_0 = 2$:

$y''(2) = 6(2) - 4(3) = 12 - 12 = 0$.

В этом случае тест со второй производной не дает ответа. Исследуем знак первой производной. Подставим $a=3$ в выражение для $y'(x)$:

$y'(x) = 3x^2 - 4(3)x + 2(3)^2 - 2(3) = 3x^2 - 12x + 18 - 6 = 3x^2 - 12x + 12$.

Вынесем общий множитель 3:

$y'(x) = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x-2)^2$.

Выражение $3(x-2)^2$ всегда неотрицательно ($ \geq 0$). Это означает, что производная не меняет свой знак при переходе через точку $x=2$ (она равна нулю в самой точке, и положительна слева и справа от нее). Следовательно, при $a=3$ точка $x_0=2$ не является точкой экстремума, а является точкой перегиба.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $a=2$.

Ответ: $a=2$.