Страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$, $[-1; 3];$

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$, $[0; 2];$

3) $f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 60x - 7$, $[-1; 3];$

4) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$, $[-3; 0].$

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$ на отрезке $[-1; 3]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=2$, принадлежат отрезку $[-1; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $f(-1) = 3(-1)^2 - (-1)^3 = 3 \cdot 1 - (-1) = 3 + 1 = 4$
• $f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0$
• $f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$
• $f(3) = 3(3)^2 - (3)^3 = 3 \cdot 9 - 27 = 27 - 27 = 0$

5. Сравниваем полученные значения: $\{4, 0, 4, 0\}$. Наибольшее значение равно 4, наименьшее равно 0.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = 4$, наименьшее значение $f_{наим.} = 0$.

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ на отрезке $[0; 2]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 5)' = 4x^3 - 4x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[0; 2]$.

Точки $x=0$ и $x=1$ принадлежат отрезку. Точка $x=-1$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка:

• $f(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 5 = 5$
• $f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$
• $f(2) = (2)^4 - 2(2)^2 + 5 = 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13$

5. Сравниваем полученные значения: $\{5, 4, 13\}$. Наибольшее значение равно 13, наименьшее равно 4.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = 13$, наименьшее значение $f_{наим.} = 4$.

3) $f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 60x - 7$ на отрезке $[-1; 3]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 9x^2 - 60x - 7)' = 6x^2 + 18x - 60$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 18x - 60 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-1; 3]$.

Точка $x=2$ принадлежит отрезку. Точка $x=-5$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=3$:

• $f(-1) = 2(-1)^3 + 9(-1)^2 - 60(-1) - 7 = -2 + 9 + 60 - 7 = 60$
• $f(2) = 2(2)^3 + 9(2)^2 - 60(2) - 7 = 2 \cdot 8 + 9 \cdot 4 - 120 - 7 = 16 + 36 - 120 - 7 = -75$
• $f(3) = 2(3)^3 + 9(3)^2 - 60(3) - 7 = 2 \cdot 27 + 9 \cdot 9 - 180 - 7 = 54 + 81 - 180 - 7 = -52$

5. Сравниваем полученные значения: $\{60, -75, -52\}$. Наибольшее значение равно 60, наименьшее равно -75.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = 60$, наименьшее значение $f_{наим.} = -75$.

4) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$ на отрезке $[-3; 0]$

Функция непрерывна на отрезке $[-3; 0]$, так как точка разрыва $x=1$ не входит в этот отрезок.

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2 + 8)'(x - 1) - (x^2 + 8)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 8) \cdot 1}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 8}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2}$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-3; 0]$.

Точка $x=-2$ принадлежит отрезку. Точка $x=4$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-2$ и на концах отрезка $x=-3$ и $x=0$:

• $f(-3) = \frac{(-3)^2 + 8}{-3 - 1} = \frac{9 + 8}{-4} = \frac{17}{-4} = -4.25$
• $f(-2) = \frac{(-2)^2 + 8}{-2 - 1} = \frac{4 + 8}{-3} = \frac{12}{-3} = -4$
• $f(0) = \frac{0^2 + 8}{0 - 1} = \frac{8}{-1} = -8$

5. Сравниваем полученные значения: $\{-4.25, -4, -8\}$. Наибольшее значение равно -4, наименьшее равно -8.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = -4$, наименьшее значение $f_{наим.} = -8$.

43.2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$, $[0; 3];$

2) $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$, $[-2; 0];$

3) $f(x) = 2x^4 - 8x$, $[-2; 1];$

4) $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$, $[-1; 2].$

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$ на отрезке $[0; 3]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 4x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 = x^2 - 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0$.
Критические точки: $x = 2$ и $x = -2$.

Из этих точек отрезку $[0; 3]$ принадлежит только $x=2$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка ($x=0$ и $x=3$):
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 4(0) = 0$
$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{8}{3} - 8 = \frac{8-24}{3} = -\frac{16}{3}$
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 4(3) = 9 - 12 = -3$

Среди значений $\{0, -\frac{16}{3}, -3\}$ наибольшее равно $0$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-\frac{16}{3}$.

2) Дана функция $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$ на отрезке $[-2; 0]$.

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -x^3 - x^2 + x - 1$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^3 - x^2 + x - 1)' = -3x^2 - 2x + 1$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$-3x^2 - 2x + 1 = 0 \implies 3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Из этих точек отрезку $[-2; 0]$ принадлежит только $x=-1$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка ($x=-2$ и $x=0$):
$f(-2) = -(-2)^3 - (-2)^2 + (-2) - 1 = 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
$f(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$
$f(0) = -(0)^3 - (0)^2 + 0 - 1 = -1$

Среди значений $\{1, -2, -1\}$ наибольшее равно $1$, а наименьшее равно $-2$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.

3) Дана функция $f(x) = 2x^4 - 8x$ на отрезке $[-2; 1]$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^4 - 8x)' = 8x^3 - 8$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$8x^3 - 8 = 0 \implies 8x^3 = 8 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$ и является его правым концом.

Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-2$ и $x=1$:
$f(-2) = 2(-2)^4 - 8(-2) = 2 \cdot 16 + 16 = 32 + 16 = 48$
$f(1) = 2(1)^4 - 8(1) = 2 - 8 = -6$

Сравнивая значения $48$ и $-6$, находим, что наибольшее значение равно $48$, а наименьшее равно $-6$.
Ответ: наибольшее значение $48$, наименьшее значение $-6$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$ на отрезке $[-1; 2]$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{x^4}{4} - 8x^2)' = \frac{4x^3}{4} - 16x = x^3 - 16x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$x^3 - 16x = 0 \implies x(x^2 - 16) = 0 \implies x(x-4)(x+4)=0$.
Критические точки: $x=0$, $x=4$, $x=-4$.

Из этих точек отрезку $[-1; 2]$ принадлежит только $x=0$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка ($x=-1$ и $x=2$):
$f(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - 8(-1)^2 = \frac{1}{4} - 8 = -\frac{31}{4} = -7.75$
$f(0) = \frac{0^4}{4} - 8(0)^2 = 0$
$f(2) = \frac{2^4}{4} - 8(2)^2 = \frac{16}{4} - 8 \cdot 4 = 4 - 32 = -28$

Среди значений $\{-7.75, 0, -28\}$ наибольшее равно $0$, а наименьшее равно $-28$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-28$.

43.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$, $[-6; 8]$;

2) $f(x) = \sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}$, $[2; 4]$;

3) $f(x) = (x+1)^2(x-2)^2$, $[-2; 4]$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$, $[-4; -1]$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$ на отрезке $[-6; 8]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{100 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{100 - x^2}} \cdot (100 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}.$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x = 0.$

Критическая точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-6; 8]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$f(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.$

$f(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6.$

$f(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10.$

4. Сравнивая полученные значения $6, 8, 10$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 10, а наименьшее – 6.

Ответ: наибольшее значение $10$, наименьшее значение $6$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}$ на отрезке $[2; 4]$.

1. Функция $y=\sqrt{t}$ является монотонно возрастающей, поэтому наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на отрезке достигаются в тех же точках, что и у подкоренного выражения $g(x) = 0.5x^2 + 3x + 5$. Найдем экстремумы функции $g(x)$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (0.5x^2 + 3x + 5)' = x + 3.$

3. Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$:

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3.$

Эта точка не принадлежит отрезку $[2; 4]$. Поскольку на отрезке $[2; 4]$ нет критических точек, а производная $g'(x) = x+3$ положительна при $x \in [2; 4]$, функция $g(x)$ монотонно возрастает на этом отрезке. Следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x=2$, а наибольшее – в точке $x=4$.

4. Вычислим значения функции $f(x)$ на концах отрезка:

$f(2) = \sqrt{0.5(2)^2 + 3(2) + 5} = \sqrt{2 + 6 + 5} = \sqrt{13}.$

$f(4) = \sqrt{0.5(4)^2 + 3(4) + 5} = \sqrt{8 + 12 + 5} = \sqrt{25} = 5.$

Ответ: наибольшее значение $5$, наименьшее значение $\sqrt{13}$.

3) Дана функция $f(x) = (x+1)^2(x-2)^2$ на отрезке $[-2; 4]$.

1. Преобразуем функцию: $f(x) = ((x+1)(x-2))^2 = (x^2 - x - 2)^2$.

2. Найдем производную функции по правилу производной сложной функции:

$f'(x) = 2(x^2 - x - 2)^{2-1} \cdot (x^2 - x - 2)' = 2(x^2 - x - 2)(2x - 1).$

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2(x^2 - x - 2)(2x - 1) = 0.$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -1.$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 0.5.$

Все три критические точки $x = -1, x = 0.5, x = 2$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-2) = ((-2)+1)^2((-2)-2)^2 = (-1)^2(-4)^2 = 1 \cdot 16 = 16.$

$f(-1) = ((-1)+1)^2((-1)-2)^2 = 0^2(-3)^2 = 0.$

$f(0.5) = (0.5+1)^2(0.5-2)^2 = (1.5)^2(-1.5)^2 = 2.25 \cdot 2.25 = 5.0625.$

$f(2) = (2+1)^2(2-2)^2 = 3^2 \cdot 0^2 = 0.$

$f(4) = (4+1)^2(4-2)^2 = 5^2 \cdot 2^2 = 25 \cdot 4 = 100.$

5. Сравнивая полученные значения $16, 0, 5.0625, 100$, находим, что наибольшее значение равно 100, а наименьшее – 0.

Ответ: наибольшее значение $100$, наименьшее значение $0$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$ на отрезке $[-4; -1]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{x} + \frac{x}{2})' = (2x^{-1} + \frac{1}{2}x)' = -2x^{-2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2}.$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \Rightarrow x^2 = 4.$

Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

3. Отрезку $[-4; -1]$ принадлежит только одна критическая точка: $x = -2$.

4. Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка:

$f(-4) = \frac{2}{-4} + \frac{-4}{2} = -0.5 - 2 = -2.5.$

$f(-1) = \frac{2}{-1} + \frac{-1}{2} = -2 - 0.5 = -2.5.$

$f(-2) = \frac{2}{-2} + \frac{-2}{2} = -1 - 1 = -2.$

5. Сравнивая полученные значения $-2.5, -2$, находим, что наибольшее значение равно -2, а наименьшее – -2.5.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-2.5$.

43.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sqrt{9+8x-x^2}$, $[0; 7];$

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2+1}$, $[-2; 4];$

3) $f(x) = (x-1)^2(x+5)^2$, $[-3; 2];$

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$, $[-6; -1].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$ и найдя точки, в которых производная не существует.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}$ на отрезке $[0; 7]$.

1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{9 + 8x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} \cdot (9 + 8x - x^2)' = \frac{8 - 2x}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} = \frac{4 - x}{\sqrt{9 + 8x - x^2}}$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $9 + 8x - x^2 = 0$, что происходит при $x = -1$ и $x = 9$.

3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[0; 7]$.
Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[0; 7]$.
Точки $x = -1$ и $x = 9$ не принадлежат интервалу $(0; 7)$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 4$ и на концах отрезка $x = 0$ и $x = 7$:
$f(0) = \sqrt{9 + 8 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
$f(4) = \sqrt{9 + 8 \cdot 4 - 4^2} = \sqrt{9 + 32 - 16} = \sqrt{25} = 5$.
$f(7) = \sqrt{9 + 8 \cdot 7 - 7^2} = \sqrt{9 + 56 - 49} = \sqrt{16} = 4$.

5. Сравнивая значения $3, 5, 4$, находим, что наименьшее значение функции равно $3$, а наибольшее равно $5$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 3$, наибольшее значение $f_{max} = 5$.

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$ на отрезке $[-2; 4]$.

1. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 1) - 4x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$4 - 4x^2 = 0 \Rightarrow 4(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Производная существует при всех $x$, так как знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю.

3. Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x = -2$ и $x = 4$:
$f(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2 + 1} = \frac{-8}{5} = -1.6$.
$f(-1) = \frac{4(-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$.
$f(1) = \frac{4(1)}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$f(4) = \frac{4(4)}{4^2 + 1} = \frac{16}{17}$.

5. Сравнивая значения $-1.6, -2, 2, \frac{16}{17}$, находим, что наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее равно $2$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -2$, наибольшее значение $f_{max} = 2$.

3) $f(x) = (x - 1)^2(x + 5)^2$ на отрезке $[-3; 2]$.

1. Преобразуем функцию: $f(x) = ((x-1)(x+5))^2 = (x^2 + 4x - 5)^2$.
Найдём производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = 2(x^2 + 4x - 5) \cdot (x^2 + 4x - 5)' = 2(x^2 + 4x - 5)(2x + 4) = 4(x+2)(x-1)(x+5)$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда $4(x+2)(x-1)(x+5) = 0$.
Отсюда $x_1 = -2, x_2 = 1, x_3 = -5$.

3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[-3; 2]$.
Точки $x = -2$ и $x = 1$ принадлежат отрезку. Точка $x=-5$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критических точках $x = -2, x=1$ и на концах отрезка $x = -3, x = 2$:
$f(-3) = ((-3) - 1)^2((-3) + 5)^2 = (-4)^2 \cdot 2^2 = 16 \cdot 4 = 64$.
$f(-2) = ((-2) - 1)^2((-2) + 5)^2 = (-3)^2 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81$.
$f(1) = (1 - 1)^2(1 + 5)^2 = 0^2 \cdot 6^2 = 0$.
$f(2) = (2 - 1)^2(2 + 5)^2 = 1^2 \cdot 7^2 = 49$.

5. Сравнивая значения $64, 81, 0, 49$, находим, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $81$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 0$, наибольшее значение $f_{max} = 81$.

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$ на отрезке $[-6; -1]$.

1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-x - 9x^{-1})' = -1 - 9(-1)x^{-2} = -1 + \frac{9}{x^2}$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда:
$-1 + \frac{9}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{9}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в заданный отрезок.

3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[-6; -1]$.
Точка $x = -3$ принадлежит отрезку. Точка $x=3$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = -3$ и на концах отрезка $x = -6, x = -1$:
$f(-6) = -(-6) - \frac{9}{-6} = 6 + 1.5 = 7.5$.
$f(-3) = -(-3) - \frac{9}{-3} = 3 + 3 = 6$.
$f(-1) = -(-1) - \frac{9}{-1} = 1 + 9 = 10$.

5. Сравнивая значения $7.5, 6, 10$, находим, что наименьшее значение функции равно $6$, а наибольшее равно $10$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 6$, наибольшее значение $f_{max} = 10$.

43.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sin x - \cos x$, $[0; \pi];$

2) $f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right].$

1) $f(x) = \sin x - \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить полученные результаты.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$\cos x + \sin x = 0$

$\sin x = -\cos x$

Разделив обе части на $\cos x \neq 0$, получаем:

$\tan x = -1$

Общее решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \pi]$. При других целых значениях $k$ точки не попадают в заданный отрезок.

4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

$f(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$.

$f(\pi) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$.

$f(\frac{3\pi}{4}) = \sin \frac{3\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

5. Сравниваем полученные значения: $-1$, $1$ и $\sqrt{2}$.

Наибольшее значение: $\max\{-1; 1; \sqrt{2}\} = \sqrt{2}$.

Наименьшее значение: $\min\{-1; 1; \sqrt{2}\} = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\sqrt{2}$, наименьшее значение равно $-1$.

2) $f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x\sqrt{3} - \cos 2x)' = \sqrt{3} - (-\sin 2x \cdot 2) = \sqrt{3} + 2\sin 2x$.

2. Находим критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$\sqrt{3} + 2\sin 2x = 0$

$\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения для $2x$ имеют вид:

$2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$ и $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

3. Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Из первой серии решений при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{6}$, что принадлежит отрезку.

Из второй серии решений при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{3}$, что также принадлежит отрезку.

При других целых $k$ точки лежат вне отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

На концах отрезка:

$f(-\frac{\pi}{2}) = (-\frac{\pi}{2})\sqrt{3} - \cos(2(-\frac{\pi}{2})) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(-\pi) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

$f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})\sqrt{3} - \cos(2(\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(\pi) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

В критических точках:

$f(-\frac{\pi}{3}) = (-\frac{\pi}{3})\sqrt{3} - \cos(2(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.

$f(-\frac{\pi}{6}) = (-\frac{\pi}{6})\sqrt{3} - \cos(2(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \cos(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}$.

5. Сравним полученные значения. Исследуем знак производной $f'(x)$ на отрезке.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

На интервале $(-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

На интервале $(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-\frac{\pi}{3}$ - точка локального максимума, а $x=-\frac{\pi}{6}$ - точка локального минимума.

Наибольшее значение ищем среди $f(-\frac{\pi}{3})$ и $f(\frac{\pi}{2})$.

$f(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} < 0$, так как $2\pi\sqrt{3} > 3$.

$f(\frac{\pi}{2}) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} > 0$.

Следовательно, наибольшее значение $f_{наиб.} = f(\frac{\pi}{2}) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Наименьшее значение ищем среди $f(-\frac{\pi}{2})$ и $f(-\frac{\pi}{6})$.

Сравним $f(-\frac{\pi}{2}) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ и $f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$. Так как на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$ функция возрастает, то $f(-\frac{\pi}{2}) < f(-\frac{\pi}{3})$. Так как на отрезке $[-\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}]$ функция убывает, то $f(-\frac{\pi}{3}) > f(-\frac{\pi}{6})$. Для сравнения $f(-\frac{\pi}{2})$ и $f(-\frac{\pi}{6})$ рассмотрим их разность. Можно показать, что $f(-\frac{\pi}{6}) > f(-\frac{\pi}{2})$, поэтому наименьшее значение достигается на левом конце отрезка.

Следовательно, наименьшее значение $f_{наим.} = f(-\frac{\pi}{2}) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

43.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$, $[0; \pi];$

2) $f(x) = 2 \cos \left( 4x + \frac{\pi}{6} \right)$, $\left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции преобразуем ее с помощью метода вспомогательного угла:

$f(x) = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} \cos x \right)$

$f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то, используя формулу синуса суммы $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, получаем:

$f(x) = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Теперь найдём, в каком диапазоне изменяется аргумент $x + \frac{\pi}{6}$, если $x$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Если $0 \le x \le \pi$, то $\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le \pi + \frac{\pi}{6}$, то есть $\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6}$.

Обозначим $t = x + \frac{\pi}{6}$. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции $g(t) = 2\sin t$ на отрезке $t \in [\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$.

На этом отрезке функция $\sin t$ достигает своего наибольшего значения, равного 1, в точке $t = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит отрезку $[\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$. Следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot 1 = 2$.

Наименьшее значение $\sin t$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$ достигается при $t = \frac{7\pi}{6}$ и равно $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение равно -1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, сначала определим, какой диапазон значений принимает её аргумент $4x + \frac{\pi}{6}$ на указанном отрезке $x \in [-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

Найдём значения аргумента на концах отрезка:

При $x = -\frac{\pi}{12}$: $4 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

При $x = \frac{\pi}{3}$: $4 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, когда $x$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$, аргумент $t = 4x + \frac{\pi}{6}$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = 2\cos t$ на отрезке $t \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

Функция $\cos t$ принимает значения от -1 до 1. Наибольшее значение, равное 1, достигается при $t = 2\pi k$, где $k$ – целое число. В наш отрезок $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$ попадает значение $t = 0$ (при $k=0$). Следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot 1 = 2$.

Наименьшее значение функции $\cos t$, равное -1, достигается при $t = \pi + 2\pi k$, где $k$ – целое число. В наш отрезок $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$ попадает значение $t = \pi$ (при $k=0$). Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение равно -2.

43.7. Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 8, что можно записать как $x + y = 8$. Также дано, что числа неотрицательные, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Требуется найти такие $x$ и $y$, чтобы произведение куба одного из них на второе было наибольшим. Обозначим это произведение как $P$. Возможны два случая: $P_1 = x^3 y$ или $P_2 = x y^3$. Решим задачу для первого случая, так как второй случай симметричен.

Рассмотрим функцию $P = x^3 y$. Чтобы найти ее максимум, выразим одну переменную через другую. Из уравнения $x + y = 8$ получаем $y = 8 - x$.

Подставим это выражение в формулу для $P$:
$P(x) = x^3 (8 - x) = 8x^3 - x^4$.

Учитывая условия $x \ge 0$ и $y \ge 0$ (то есть $8 - x \ge 0$, откуда $x \le 8$), мы должны найти наибольшее значение функции $P(x)$ на отрезке $[0, 8]$.

Для этого найдем производную функции $P(x)$ по переменной $x$:
$P'(x) = (8x^3 - x^4)' = 24x^2 - 4x^3$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$P'(x) = 0$
$24x^2 - 4x^3 = 0$
$4x^2(6 - x) = 0$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Обе точки принадлежат рассматриваемому отрезку $[0, 8]$.

Теперь необходимо вычислить значения функции $P(x)$ в найденных критических точках и на концах отрезка $[0, 8]$:

• При $x = 0$: $P(0) = 8 \cdot 0^3 - 0^4 = 0$.
• При $x = 6$: $P(6) = 8 \cdot 6^3 - 6^4 = 8 \cdot 216 - 1296 = 1728 - 1296 = 432$.
• При $x = 8$: $P(8) = 8 \cdot 8^3 - 8^4 = 8^4 - 8^4 = 0$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что наибольшее значение функции $P(x)$ равно 432 и достигается при $x = 6$.

Теперь найдем соответствующее значение для второго числа $y$:
$y = 8 - x = 8 - 6 = 2$.

Таким образом, искомые числа — это 6 и 2. Их сумма равна $6 + 2 = 8$. Произведение куба первого числа на второе равно $6^3 \cdot 2 = 216 \cdot 2 = 432$, что является максимальным значением.

Ответ: 8 = 6 + 2.