Номер 43.2, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$, $[0; 3];$

2) $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$, $[-2; 0];$

3) $f(x) = 2x^4 - 8x$, $[-2; 1];$

4) $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$, $[-1; 2].$

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$ на отрезке $[0; 3]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 4x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 = x^2 - 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0$.
Критические точки: $x = 2$ и $x = -2$.

Из этих точек отрезку $[0; 3]$ принадлежит только $x=2$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка ($x=0$ и $x=3$):
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 4(0) = 0$
$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{8}{3} - 8 = \frac{8-24}{3} = -\frac{16}{3}$
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 4(3) = 9 - 12 = -3$

Среди значений $\{0, -\frac{16}{3}, -3\}$ наибольшее равно $0$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-\frac{16}{3}$.

2) Дана функция $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$ на отрезке $[-2; 0]$.

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -x^3 - x^2 + x - 1$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^3 - x^2 + x - 1)' = -3x^2 - 2x + 1$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$-3x^2 - 2x + 1 = 0 \implies 3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Из этих точек отрезку $[-2; 0]$ принадлежит только $x=-1$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка ($x=-2$ и $x=0$):
$f(-2) = -(-2)^3 - (-2)^2 + (-2) - 1 = 8 - 4 - 2 - 1 = 1$
$f(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$
$f(0) = -(0)^3 - (0)^2 + 0 - 1 = -1$

Среди значений $\{1, -2, -1\}$ наибольшее равно $1$, а наименьшее равно $-2$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.

3) Дана функция $f(x) = 2x^4 - 8x$ на отрезке $[-2; 1]$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^4 - 8x)' = 8x^3 - 8$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$8x^3 - 8 = 0 \implies 8x^3 = 8 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$ и является его правым концом.

Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-2$ и $x=1$:
$f(-2) = 2(-2)^4 - 8(-2) = 2 \cdot 16 + 16 = 32 + 16 = 48$
$f(1) = 2(1)^4 - 8(1) = 2 - 8 = -6$

Сравнивая значения $48$ и $-6$, находим, что наибольшее значение равно $48$, а наименьшее равно $-6$.
Ответ: наибольшее значение $48$, наименьшее значение $-6$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$ на отрезке $[-1; 2]$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{x^4}{4} - 8x^2)' = \frac{4x^3}{4} - 16x = x^3 - 16x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$x^3 - 16x = 0 \implies x(x^2 - 16) = 0 \implies x(x-4)(x+4)=0$.
Критические точки: $x=0$, $x=4$, $x=-4$.

Из этих точек отрезку $[-1; 2]$ принадлежит только $x=0$.

Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка ($x=-1$ и $x=2$):
$f(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - 8(-1)^2 = \frac{1}{4} - 8 = -\frac{31}{4} = -7.75$
$f(0) = \frac{0^4}{4} - 8(0)^2 = 0$
$f(2) = \frac{2^4}{4} - 8(2)^2 = \frac{16}{4} - 8 \cdot 4 = 4 - 32 = -28$

Среди значений $\{-7.75, 0, -28\}$ наибольшее равно $0$, а наименьшее равно $-28$.
Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-28$.