Номер 43.6, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$, $[0; \pi];$

2) $f(x) = 2 \cos \left( 4x + \frac{\pi}{6} \right)$, $\left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции преобразуем ее с помощью метода вспомогательного угла:

$f(x) = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} \cos x \right)$

$f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то, используя формулу синуса суммы $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, получаем:

$f(x) = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$

Теперь найдём, в каком диапазоне изменяется аргумент $x + \frac{\pi}{6}$, если $x$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Если $0 \le x \le \pi$, то $\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le \pi + \frac{\pi}{6}$, то есть $\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6}$.

Обозначим $t = x + \frac{\pi}{6}$. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции $g(t) = 2\sin t$ на отрезке $t \in [\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$.

На этом отрезке функция $\sin t$ достигает своего наибольшего значения, равного 1, в точке $t = \frac{\pi}{2}$. Эта точка принадлежит отрезку $[\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$. Следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot 1 = 2$.

Наименьшее значение $\sin t$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}]$ достигается при $t = \frac{7\pi}{6}$ и равно $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение равно -1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, сначала определим, какой диапазон значений принимает её аргумент $4x + \frac{\pi}{6}$ на указанном отрезке $x \in [-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

Найдём значения аргумента на концах отрезка:

При $x = -\frac{\pi}{12}$: $4 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

При $x = \frac{\pi}{3}$: $4 \left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, когда $x$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$, аргумент $t = 4x + \frac{\pi}{6}$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $g(t) = 2\cos t$ на отрезке $t \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

Функция $\cos t$ принимает значения от -1 до 1. Наибольшее значение, равное 1, достигается при $t = 2\pi k$, где $k$ – целое число. В наш отрезок $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$ попадает значение $t = 0$ (при $k=0$). Следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot 1 = 2$.

Наименьшее значение функции $\cos t$, равное -1, достигается при $t = \pi + 2\pi k$, где $k$ – целое число. В наш отрезок $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$ попадает значение $t = \pi$ (при $k=0$). Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение равно -2.