Номер 43.10, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = 2\cos x - \sin 2x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

2) $f(x) = 2\sqrt{3} \cos x + 2\sin x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1) Для функции $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x)=0$.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2\cos x - \sin 2x)' = -2\sin x - (\cos 2x) \cdot 2 = -2\sin x - 2\cos 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение, чтобы найти критические точки:
$-2\sin x - 2\cos 2x = 0$
$\sin x + \cos 2x = 0$
Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$:
$2t^2 - t - 1 = 0$
Находим корни квадратного уравнения:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

3. Возвращаемся к переменной $x$ и находим точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$:
Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = \frac{\pi}{2}$.
Если $\sin x = -\frac{1}{2}$, то $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = -\frac{\pi}{6}$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = -\frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6}) - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

5. Сравниваем полученные значения: $0$ и $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наибольшее значение функции: $f_{наиб.} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение функции: $f_{наим.} = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $0$.

2) Для функции $f(x) = 2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Действуем по тому же алгоритму.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x)' = -2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x$.

2. Находим критические точки:
$-2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x = 0$
$2\cos x = 2\sqrt{3}\sin x$
$\cos x = \sqrt{3}\sin x$
Заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$1 = \sqrt{3}\tan x$
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. Находим точку, принадлежащую отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$:
$x = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.
Заданному отрезку принадлежит только точка $x = \frac{\pi}{6}$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = \frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{2}) + 2\sin(-\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$.
$f(\frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$.

5. Сравниваем полученные значения: $-2, 2, 4$.
Наибольшее значение функции: $f_{наиб.} = 4$.
Наименьшее значение функции: $f_{наим.} = -2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $4$, наименьшее значение равно $-2$.