Номер 43.14, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом $30^\circ$ вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Гипотенуза $AB = 16$ см, и один из острых углов, например $\angle A = 30^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Найдем длины катетов треугольника:
Катет $BC$, противолежащий углу $A$: $BC = AB \cdot \sin(A) = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
Катет $AC$, прилежащий к углу $A$: $AC = AB \cdot \cos(A) = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

В треугольник вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Обозначим этот прямоугольник $KLMN$, где вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $M$ и $N$ — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что сторона $KL$ прямоугольника лежит на гипотенузе, а стороны $LM$ и $KN$ перпендикулярны гипотенузе.

Обозначим стороны прямоугольника: пусть его высота $KN = LM = y$, а сторона $KL = x$, лежащая на гипотенузе. Площадь прямоугольника $S = x \cdot y$. Наша задача — найти $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет наибольшей.

Рассмотрим малые прямоугольные треугольники $ANK$ (с прямым углом $K$) и $BML$ (с прямым углом $L$), образовавшиеся по краям прямоугольника.

В треугольнике $ANK$: $\angle A = 30^\circ$, катет $KN = y$. Тогда катет $AK$ можно выразить через $y$:
$\tan(A) = \frac{KN}{AK} \Rightarrow \tan(30^\circ) = \frac{y}{AK} \Rightarrow AK = \frac{y}{\tan(30^\circ)} = \frac{y}{1/\sqrt{3}} = y\sqrt{3}$.

В треугольнике $BML$: $\angle B = 60^\circ$, катет $LM = y$. Тогда катет $BL$ можно выразить через $y$:
$\tan(B) = \frac{LM}{BL} \Rightarrow \tan(60^\circ) = \frac{y}{BL} \Rightarrow BL = \frac{y}{\tan(60^\circ)} = \frac{y}{\sqrt{3}}$.

Гипотенуза $AB$ состоит из отрезков $AK$, $KL$ и $BL$:
$AB = AK + KL + BL$
$16 = y\sqrt{3} + x + \frac{y}{\sqrt{3}}$

Выразим $x$ через $y$:
$x = 16 - y\sqrt{3} - \frac{y}{\sqrt{3}} = 16 - y(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 16 - y(\frac{3+1}{\sqrt{3}}) = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}$.

Теперь запишем функцию площади прямоугольника $S$ в зависимости от $y$:
$S(y) = x \cdot y = (16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}) \cdot y = 16y - \frac{4}{\sqrt{3}}y^2$.

Эта функция является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $y^2$ отрицателен ($-\frac{4}{\sqrt{3}} < 0$). Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Найдем координату $y$ вершины параболы $S(y) = ay^2 + by + c$ по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ и $b = 16$.
$y_0 = -\frac{16}{2 \cdot (-\frac{4}{\sqrt{3}})} = -\frac{16}{-\frac{8}{\sqrt{3}}} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}$.
Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна $y = 2\sqrt{3}$ см.

Найдем вторую сторону $x$, подставив значение $y$ в полученное ранее выражение:
$x = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{4 \cdot (2\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16 - 8 = 8$.
Вторая сторона прямоугольника равна $x = 8$ см.

Следовательно, для того чтобы площадь вписанного прямоугольника была наибольшей, его стороны должны быть равны 8 см и $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 8 см и $2\sqrt{3}$ см.