Номер 43.20, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.20. В трапеции меньшее основание и боковые стороны равны $a$. Найдите большее основание трапеции, при котором её площадь принимает наибольшее значение.

Пусть дана равнобокая трапеция, у которой меньшее основание и боковые стороны равны $a$. Обозначим большее основание как $b$, а высоту как $h$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Чтобы выразить площадь как функцию одной переменной, опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Большее основание разделится на три отрезка: центральный, равный меньшему основанию $a$, и два боковых отрезка. Обозначим длину каждого из этих боковых отрезков как $x$.

Тогда большее основание $b$ можно выразить как $b = a + 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и отрезком $x$ (катет). По теореме Пифагора:$h^2 + x^2 = a^2$Отсюда высота $h = \sqrt{a^2 - x^2}$.

Заметим, что для существования трапеции должно выполняться условие $x > 0$ и $a^2 - x^2 > 0$, то есть $0 < x < a$.

Подставим выражения для $b$ и $h$ в формулу площади:$S(x) = \frac{a + (a+2x)}{2} \cdot \sqrt{a^2 - x^2} = \frac{2a+2x}{2} \cdot \sqrt{a^2 - x^2} = (a+x)\sqrt{a^2 - x^2}$

Для нахождения наибольшего значения площади, найдем точку максимума функции $S(x)$. Удобнее исследовать на максимум квадрат функции площади $S^2(x)$, так как это избавляет от квадратного корня, а максимум для $S(x)$ будет достигаться при том же значении $x$, что и для $S^2(x)$ (поскольку $S(x) > 0$).

Пусть $f(x) = S^2(x) = (a+x)^2(a^2 - x^2) = (a+x)^2(a-x)(a+x) = (a+x)^3(a-x)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по $x$ с помощью правила произведения:$f'(x) = ((a+x)^3)'(a-x) + (a+x)^3(a-x)'$$f'(x) = 3(a+x)^2 \cdot 1 \cdot (a-x) + (a+x)^3 \cdot (-1)$

Вынесем общий множитель $(a+x)^2$:$f'(x) = (a+x)^2 [3(a-x) - (a+x)] = (a+x)^2 [3a - 3x - a - x] = (a+x)^2 (2a - 4x)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$(a+x)^2 (2a - 4x) = 0$

Поскольку $a>0$ и $x>0$, то $(a+x)^2 \neq 0$. Следовательно, нулю должна быть равна вторая скобка:$2a - 4x = 0$$4x = 2a$$x = \frac{a}{2}$

Это значение $x$ принадлежит интервалу $(0, a)$. Проверим, является ли эта точка точкой максимума. Определим знаки производной на интервалах $(0, a/2)$ и $(a/2, a)$.

- При $x < a/2$, выражение $(2a - 4x) > 0$, значит $f'(x) > 0$ (функция возрастает).- При $x > a/2$, выражение $(2a - 4x) < 0$, значит $f'(x) < 0$ (функция убывает).

Таким образом, $x = a/2$ является точкой максимума.

Теперь найдем длину большего основания $b$, при котором площадь максимальна, подставив найденное значение $x$:$b = a + 2x = a + 2 \cdot \frac{a}{2} = a + a = 2a$

Ответ: $2a$.