Страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.19. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?

Пусть $a$ — длина основания равнобедренного треугольника, а $b$ — длина боковой стороны. Периметр $P$ треугольника равен $P = a + 2b$.

По условию задачи, $P = 48$ см, следовательно:

$a + 2b = 48$

Выразим длину боковой стороны $b$ через длину основания $a$:

$2b = 48 - a \implies b = 24 - \frac{a}{2}$

Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника, в частности, сумма длин двух боковых сторон должна быть больше длины основания: $2b > a$. Подставив $2b = 48 - a$, получаем $48 - a > a$, что приводит к $48 > 2a$, или $a < 24$. Также длина основания должна быть положительной, $a > 0$. Таким образом, $0 < a < 24$.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $h$ — высота, опущенная на основание. Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора:

$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$

$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Подставим в это выражение $b = 24 - \frac{a}{2}$:

$h = \sqrt{\left(24 - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{576 - 2 \cdot 24 \cdot \frac{a}{2} + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{576 - 24a}$

Теперь запишем формулу для площади как функцию от $a$:

$S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}$

Чтобы найти максимальное значение площади, нужно найти максимум этой функции. Максимум функции $S(a)$ будет достигаться при том же значении $a$, что и максимум функции $S^2(a)$, так как площадь является неотрицательной величиной. Рассмотрим функцию $f(a) = S^2(a)$ для упрощения вычислений:

$f(a) = \left(\frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}\right)^2 = \frac{1}{4} a^2 (576 - 24a) = 144a^2 - 6a^3$

Найдем производную этой функции по $a$:

$f'(a) = (144a^2 - 6a^3)' = 2 \cdot 144a - 3 \cdot 6a^2 = 288a - 18a^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$288a - 18a^2 = 0$

$18a(16 - a) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $a = 0$ или $a = 16$.

Значение $a=0$ не входит в область определения $0 < a < 24$ и соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью (минимум). Значение $a = 16$ находится в допустимом интервале.

Чтобы убедиться, что $a = 16$ является точкой максимума, можно исследовать знак производной. Производная $f'(a) = 18a(16 - a)$ является параболой с ветвями вниз. Она положительна на интервале $(0, 16)$ и отрицательна на интервале $(16, \infty)$. Следовательно, в точке $a = 16$ функция $f(a)$ достигает своего максимума.

При $a = 16$ см боковая сторона $b = 24 - \frac{16}{2} = 16$ см. Треугольник является равносторонним, что является известным результатом для задачи о нахождении треугольника максимальной площади при заданном периметре.

Ответ: 16 см.

43.20. В трапеции меньшее основание и боковые стороны равны $a$. Найдите большее основание трапеции, при котором её площадь принимает наибольшее значение.

Пусть дана равнобокая трапеция, у которой меньшее основание и боковые стороны равны $a$. Обозначим большее основание как $b$, а высоту как $h$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Чтобы выразить площадь как функцию одной переменной, опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Большее основание разделится на три отрезка: центральный, равный меньшему основанию $a$, и два боковых отрезка. Обозначим длину каждого из этих боковых отрезков как $x$.

Тогда большее основание $b$ можно выразить как $b = a + 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и отрезком $x$ (катет). По теореме Пифагора:$h^2 + x^2 = a^2$Отсюда высота $h = \sqrt{a^2 - x^2}$.

Заметим, что для существования трапеции должно выполняться условие $x > 0$ и $a^2 - x^2 > 0$, то есть $0 < x < a$.

Подставим выражения для $b$ и $h$ в формулу площади:$S(x) = \frac{a + (a+2x)}{2} \cdot \sqrt{a^2 - x^2} = \frac{2a+2x}{2} \cdot \sqrt{a^2 - x^2} = (a+x)\sqrt{a^2 - x^2}$

Для нахождения наибольшего значения площади, найдем точку максимума функции $S(x)$. Удобнее исследовать на максимум квадрат функции площади $S^2(x)$, так как это избавляет от квадратного корня, а максимум для $S(x)$ будет достигаться при том же значении $x$, что и для $S^2(x)$ (поскольку $S(x) > 0$).

Пусть $f(x) = S^2(x) = (a+x)^2(a^2 - x^2) = (a+x)^2(a-x)(a+x) = (a+x)^3(a-x)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по $x$ с помощью правила произведения:$f'(x) = ((a+x)^3)'(a-x) + (a+x)^3(a-x)'$$f'(x) = 3(a+x)^2 \cdot 1 \cdot (a-x) + (a+x)^3 \cdot (-1)$

Вынесем общий множитель $(a+x)^2$:$f'(x) = (a+x)^2 [3(a-x) - (a+x)] = (a+x)^2 [3a - 3x - a - x] = (a+x)^2 (2a - 4x)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$(a+x)^2 (2a - 4x) = 0$

Поскольку $a>0$ и $x>0$, то $(a+x)^2 \neq 0$. Следовательно, нулю должна быть равна вторая скобка:$2a - 4x = 0$$4x = 2a$$x = \frac{a}{2}$

Это значение $x$ принадлежит интервалу $(0, a)$. Проверим, является ли эта точка точкой максимума. Определим знаки производной на интервалах $(0, a/2)$ и $(a/2, a)$.

- При $x < a/2$, выражение $(2a - 4x) > 0$, значит $f'(x) > 0$ (функция возрастает).- При $x > a/2$, выражение $(2a - 4x) < 0$, значит $f'(x) < 0$ (функция убывает).

Таким образом, $x = a/2$ является точкой максимума.

Теперь найдем длину большего основания $b$, при котором площадь максимальна, подставив найденное значение $x$:$b = a + 2x = a + 2 \cdot \frac{a}{2} = a + a = 2a$

Ответ: $2a$.

43.21. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиусом $r$.

Каким должен быть угол при основании треугольника, чтобы его площадь была наименьшей?

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Обозначим угол при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Тогда угол при вершине $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$. Так как углы треугольника должны быть положительными, то $2\alpha < 180^\circ$, откуда следует, что $0 < \alpha < 90^\circ$.

Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Пусть $O$ — центр вписанной окружности радиуса $r$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис, поэтому точка $O$ лежит на высоте $BH$. Расстояние от центра вписанной окружности до сторон треугольника равно радиусу $r$, следовательно, $OH = r$, так как $OH$ перпендикулярен основанию $AC$.

Обозначим половину основания как $AH = x$. Тогда основание $AC = 2x$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ находим высоту: $BH = AH \cdot \tan(\angle BAH) = x \tan(\alpha)$.

Площадь треугольника $S$ выражается формулой:$S = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} (2x) (x \tan(\alpha)) = x^2 \tan(\alpha)$.

Теперь выразим $x$ через $r$ и $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$. Поскольку центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, то $\angle OAH = \frac{\alpha}{2}$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике $AOH$ имеем:$\tan(\angle OAH) = \frac{OH}{AH}$$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{x}$Отсюда получаем $x = \frac{r}{\tan(\alpha/2)} = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим это выражение для $x$ в формулу площади, чтобы получить зависимость площади $S$ от угла $\alpha$:$S(\alpha) = \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \tan(\alpha) = r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$.

Для нахождения наименьшей площади необходимо минимизировать функцию $S(\alpha)$. Так как $r$ является константой, задача сводится к минимизации функции $f(\alpha) = \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$ на интервале $\alpha \in (0, 90^\circ)$.

Воспользуемся тригонометрическими тождествами. Пусть $t = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Тогда $\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{t}$. Формула тангенса двойного угла: $\tan(\alpha) = \frac{2 \tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)} = \frac{2t}{1-t^2}$. Из условия $0 < \alpha < 90^\circ$ следует, что $0 < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$, а значит $0 < t < 1$. Перепишем функцию $f$ через переменную $t$:$f(t) = \left(\frac{1}{t}\right)^2 \cdot \frac{2t}{1-t^2} = \frac{1}{t^2} \cdot \frac{2t}{1-t^2} = \frac{2}{t(1-t^2)}$.

Чтобы минимизировать дробь $f(t)$ с положительным числителем, нужно максимизировать ее знаменатель $g(t) = t(1-t^2) = t - t^3$ на интервале $(0, 1)$. Найдем производную функции $g(t)$ для определения точек экстремума:$g'(t) = (t - t^3)' = 1 - 3t^2$.

Приравняем производную к нулю:$1 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 1 \implies t^2 = \frac{1}{3}$. Поскольку $t > 0$, получаем $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Исследуем знак производной:- при $0 < t < \frac{1}{\sqrt{3}}$, $g'(t) > 0$, функция $g(t)$ возрастает;- при $\frac{1}{\sqrt{3}} < t < 1$, $g'(t) < 0$, функция $g(t)$ убывает. Следовательно, в точке $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ функция $g(t)$ достигает максимума. Это означает, что функция $S(\alpha)$ достигает минимума.

Найдем угол $\alpha$, соответствующий этому значению $t$:$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$\frac{\alpha}{2} = 30^\circ$$\alpha = 60^\circ$.

Таким образом, площадь треугольника будет наименьшей, когда угол при основании равен $60^\circ$. В этом случае треугольник является равносторонним, так как все его углы равны $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

43.22. Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанной в этот треугольник окружности был наибольшим?

Пусть дан равнобедренный треугольник с площадью $S$. Обозначим угол при вершине через $\alpha$, равные боковые стороны через $b$, а основание через $a$. Радиус вписанной окружности обозначим через $r$.

Площадь треугольника $S$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и полупериметром $p$ формулой:

$S = p \cdot r$

Отсюда можно выразить радиус:

$r = \frac{S}{p}$

Поскольку площадь $S$ задана и является константой, радиус $r$ будет наибольшим, когда полупериметр $p$ (а значит, и периметр $P=2p$) будет наименьшим. Таким образом, задача сводится к нахождению такого угла $\alpha$, при котором периметр равнобедренного треугольника с постоянной площадью $S$ минимален.

Выразим периметр треугольника через площадь $S$ и угол при вершине $\alpha$.

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через боковую сторону $b$ и угол при вершине $\alpha$:

$S = \frac{1}{2} b^2 \sin(\alpha)$

Отсюда выразим боковую сторону $b$:

$b = \sqrt{\frac{2S}{\sin(\alpha)}}$

Основание $a$ можно найти, например, по теореме косинусов или разделив треугольник на два прямоугольных. Проведя высоту к основанию, получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой $b$ и углом при вершине $\alpha/2$. Половина основания будет равна $b \sin(\alpha/2)$, тогда все основание:

$a = 2b \sin(\frac{\alpha}{2})$

Теперь запишем периметр $P$ как функцию угла $\alpha$:

$P = a + 2b = 2b \sin(\frac{\alpha}{2}) + 2b = 2b(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$

Подставим выражение для $b$:

$P(\alpha) = 2\sqrt{\frac{2S}{\sin(\alpha)}} \left(1 + \sin(\frac{\alpha}{2})\right)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, преобразуем выражение:

$P(\alpha) = 2\sqrt{\frac{2S}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}} \left(1 + \sin(\frac{\alpha}{2})\right) = 2\sqrt{S} \frac{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}{\sqrt{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}}$

Для нахождения минимума этой функции будем исследовать ее производную. Удобнее минимизировать квадрат периметра $P^2$, так как это избавляет от корней и не меняет точку экстремума.

$P^2(\alpha) = 4S \frac{\left(1 + \sin(\frac{\alpha}{2})\right)^2}{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Введем замену $x = \frac{\alpha}{2}$. Угол $\alpha$ может изменяться от $0$ до $180^\circ$ ($\pi$ радиан), поэтому $x$ изменяется от $0$ до $90^\circ$ ($\pi/2$ радиан). Нам нужно найти минимум функции:

$f(x) = \frac{(1 + \sin x)^2}{\sin x \cos x}$

Найдем производную $f'(x)$ по правилу дифференцирования частного. Точка экстремума будет там, где числитель производной равен нулю.

$f'(x) = \frac{2(1+\sin x)\cos x (\sin x \cos x) - (1+\sin x)^2(\cos^2 x - \sin^2 x)}{(\sin x \cos x)^2}$

Приравняем числитель к нулю. Поскольку $x \in (0, \pi/2)$, то $1 + \sin x \neq 0$, и на него можно сократить:

$2\cos x (\sin x \cos x) - (1+\sin x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 0$

$2\sin x \cos^2 x - (1+\sin x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 0$

Заменим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Пусть $s = \sin x$.

$2s(1 - s^2) - (1+s)(1 - s^2 - s^2) = 0$

$2s - 2s^3 - (1+s)(1 - 2s^2) = 0$

$2s - 2s^3 - (1 - 2s^2 + s - 2s^3) = 0$

$2s - 2s^3 - 1 + 2s^2 - s + 2s^3 = 0$

$2s^2 + s - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $s$:

$s = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

Получаем два корня: $s_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $s_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.

Поскольку $x = \alpha/2$ и $x \in (0, \pi/2)$, то $\sin x$ должен быть положительным. Следовательно, нам подходит только корень $s = \sin x = 1/2$.

Если $\sin x = 1/2$, то $x = 30^\circ$ (или $\pi/6$ радиан).

Так как $x = \alpha/2$, то угол при вершине $\alpha = 2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то и углы при основании равны $(180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ$. Следовательно, треугольник является равносторонним.

Исследование знака производной показывает, что при $x < 30^\circ$ производная отрицательна, а при $x > 30^\circ$ — положительна. Это означает, что в точке $x = 30^\circ$ (и, соответственно, $\alpha=60^\circ$) достигается минимум периметра, а значит, максимум радиуса вписанной окружности.

Ответ: Угол при вершине равнобедренного треугольника должен быть равен $60^\circ$.

43.23. На окружности радиусом $R$ отметили точку $A$. На каком расстоянии от точки $A$ надо провести хорду $BC$, параллельную касательной в точке $A$, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей?

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус. Касательная в точке A перпендикулярна радиусу OA. Поскольку хорда BC параллельна касательной, она также перпендикулярна прямой, содержащей радиус OA.
Пусть $d$ — искомое расстояние от точки A до хорды BC. Эта величина является высотой треугольника ABC, опущенной на основание BC. Обозначим точку пересечения этой высоты с хордой BC как H. Тогда $AH = d$. Прямая AH проходит через центр окружности O.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB, где H — середина хорды BC. Катет OH — это расстояние от центра окружности до хорды BC. Оно равно $|R - d|$. Гипотенуза OB равна радиусу R.
По теореме Пифагора, половина длины хорды BH равна:
$BH = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{R^2 - (R-d)^2} = \sqrt{R^2 - (R^2 - 2Rd + d^2)} = \sqrt{2Rd - d^2}$.
Следовательно, длина основания BC равна $2 \cdot BH = 2\sqrt{2Rd - d^2}$.
Площадь треугольника ABC как функция от $d$ равна:
$S(d) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2Rd - d^2}) \cdot d = d\sqrt{2Rd - d^2}$.
Чтобы найти максимальную площадь, необходимо найти максимум функции $S(d)$ для $d \in (0, 2R)$. Для упрощения вычислений будем максимизировать квадрат площади $S^2(d)$, так как $S(d)$ является положительной величиной.
Пусть $f(d) = S^2(d) = d^2(2Rd - d^2) = 2Rd^3 - d^4$.
Найдем производную этой функции по $d$:
$f'(d) = (2Rd^3 - d^4)' = 6Rd^2 - 4d^3$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$6Rd^2 - 4d^3 = 0$
$2d^2(3R - 2d) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $d=0$ (что соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью, то есть минимуму) и $3R - 2d = 0$.
Из второго уравнения получаем: $2d = 3R \Rightarrow d = \frac{3R}{2}$.
Чтобы убедиться, что это точка максимума, воспользуемся второй производной:
$f''(d) = (6Rd^2 - 4d^3)' = 12Rd - 12d^2$.
Подставим значение $d = \frac{3R}{2}$ в выражение для второй производной:
$f''(\frac{3R}{2}) = 12R(\frac{3R}{2}) - 12(\frac{3R}{2})^2 = 18R^2 - 12(\frac{9R^2}{4}) = 18R^2 - 27R^2 = -9R^2$.
Так как $f''(\frac{3R}{2}) < 0$, то точка $d = \frac{3R}{2}$ является точкой максимума для функции $f(d)$, а значит, и для функции $S(d)$.
Таким образом, площадь треугольника ABC будет наибольшей, когда хорду BC провести на расстоянии $\frac{3R}{2}$ от точки A.

Ответ: $\frac{3R}{2}$.

43.24. Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, прямой $y = 2$ и осью ординат. В какой точке графика функции $y = \sqrt{x} (0 \le x \le 4)$ надо провести касательную, чтобы она отсекала от указанной фигуры треугольник наибольшей площади?

Фигура, о которой идет речь в задаче, ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, прямой $y=2$ и осью ординат ($x=0$). Требуется найти такую точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = \sqrt{x}$ в диапазоне $0 \le x \le 4$, что касательная, проведенная в этой точке, отсекает от указанной фигуры треугольник наибольшей площади.

Пусть $M(x_0, \sqrt{x_0})$ — искомая точка касания. Для нахождения уравнения касательной нам понадобится производная функции $y = \sqrt{x}$, которая равна $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент касательной в точке $M$ составляет $k = y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

Уравнение касательной в общем виде: $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставив наши значения, получим:

$y - \sqrt{x_0} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x - x_0)$

Выразим $y$:

$y = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}x - \frac{x_0}{2\sqrt{x_0}} + \sqrt{x_0} \Rightarrow y = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}x + \frac{\sqrt{x_0}}{2}$

Этот треугольник ограничен касательной, осью ординат ($x=0$) и прямой $y=2$. Найдем его вершины.

• Первая вершина — точка пересечения прямых $x=0$ и $y=2$: $A(0, 2)$.
• Вторая вершина — точка пересечения касательной с осью ординат. Подставим $x=0$ в уравнение касательной: $y = \frac{\sqrt{x_0}}{2}$. Получаем точку $B(0, \frac{\sqrt{x_0}}{2})$.
• Третья вершина — точка пересечения касательной с прямой $y=2$. Подставим $y=2$ в уравнение касательной: $2 = \frac{x}{2\sqrt{x_0}} + \frac{\sqrt{x_0}}{2}$. Отсюда находим $x = 2\sqrt{x_0}(2-\frac{\sqrt{x_0}}{2}) = 4\sqrt{x_0} - x_0$. Получаем точку $C(4\sqrt{x_0} - x_0, 2)$.

Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $AC$ лежат на взаимно перпендикулярных прямых $x=0$ и $y=2$. Длины катетов равны:

$|AB| = 2 - \frac{\sqrt{x_0}}{2}$

$|AC| = 4\sqrt{x_0} - x_0$

Площадь треугольника $S$ как функция от $x_0$:

$S(x_0) = \frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| = \frac{1}{2} \left(2 - \frac{\sqrt{x_0}}{2}\right) (4\sqrt{x_0} - x_0)$

Для упрощения и нахождения максимума этой функции введем замену $t = \sqrt{x_0}$. Поскольку $0 \le x_0 \le 4$, то переменная $t$ изменяется на отрезке $[0, 2]$. Функция площади принимает вид:

$S(t) = \frac{1}{2} \left(2 - \frac{t}{2}\right) (4t - t^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4-t}{2} \cdot t(4-t) = \frac{1}{4}t(4-t)^2$

Раскроем скобки: $S(t) = \frac{1}{4}(16t - 8t^2 + t^3)$.

Найдем производную функции $S(t)$ по переменной $t$ для поиска экстремумов:

$S'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{4}(16t - 8t^2 + t^3)\right) = \frac{1}{4}(16 - 16t + 3t^2)$

Приравняем производную к нулю: $3t^2 - 16t + 16 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64$. Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{16-8}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{16+8}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Отрезку $[0, 2]$ принадлежит только корень $t_1 = 4/3$. Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо сравнить ее значения в этой критической точке и на концах отрезка ($t=0$ и $t=2$).

$S(0) = \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (4-0)^2 = 0$

$S(2) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot (4-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

$S(\frac{4}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \left(4 - \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{12-4}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{27}$

Сравнивая полученные значения $S(2)=2=\frac{54}{27}$ и $S(\frac{4}{3})=\frac{64}{27}$, заключаем, что максимальная площадь достигается при $t = 4/3$.

Теперь найдем искомые координаты точки касания $(x_0, y_0)$, зная, что $t = \sqrt{x_0} = 4/3$:

$x_0 = t^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$

$y_0 = \sqrt{x_0} = t = \frac{4}{3}$

Следовательно, для получения треугольника наибольшей площади касательную нужно провести в точке $(\frac{16}{9}, \frac{4}{3})$.

Ответ: $(\frac{16}{9}; \frac{4}{3})$.

43.25. На координатной плоскости расположен прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Вершина $A$ имеет координаты $(-2; 0)$, вершина $B$ принадлежит отрезку $[2; 3]$ оси абсцисс, а вершина $C$ — параболе $y = x^2 - 4x + 1$. Какими должны быть координаты точки $C$, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей?

Пусть координаты вершин треугольника $ABC$ будут следующими:
$A(-2; 0)$ (по условию).
Вершина $B$ принадлежит отрезку $[2; 3]$ оси абсцисс, следовательно, её ордината равна нулю. Обозначим её абсциссу как $b$. Тогда координаты точки $B$ будут $(b; 0)$, где $b \in [2; 3]$.
Вершина $C$ лежит на параболе $y = x^2 - 4x + 1$. Обозначим её координаты как $(x_C; y_C)$, где $y_C = x_C^2 - 4x_C + 1$.

В треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что катеты $AB$ и $BC$ перпендикулярны. Поскольку точки $A(-2; 0)$ и $B(b; 0)$ лежат на оси абсцисс ($y=0$), то катет $AB$ является горизонтальным отрезком. Для того чтобы катет $BC$ был перпендикулярен горизонтальному катету $AB$, он должен быть вертикальным отрезком. Это означает, что абсциссы точек $B$ и $C$ должны совпадать. Таким образом, $x_C = b$.

Теперь мы можем выразить координаты всех вершин через одну переменную $b$:
$A(-2; 0)$
$B(b; 0)$, где $b \in [2; 3]$
$C(b; b^2 - 4b + 1)$

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$.
Найдем длины катетов:
Длина катета $AB$ — это расстояние между точками $A(-2; 0)$ и $B(b; 0)$:
$AB = |b - (-2)| = |b + 2|$. Поскольку $b \in [2; 3]$, то $b+2$ всегда положительно, следовательно, $AB = b + 2$.
Длина катета $BC$ — это расстояние между точками $B(b; 0)$ и $C(b; b^2 - 4b + 1)$:
$BC = |(b^2 - 4b + 1) - 0| = |b^2 - 4b + 1|$.

Исследуем знак выражения $b^2 - 4b + 1$ на отрезке $[2; 3]$.
Найдем корни уравнения $b^2 - 4b + 1 = 0$: $b = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Приблизительные значения корней: $2 - \sqrt{3} \approx 0.27$ и $2 + \sqrt{3} \approx 3.73$.
На интервале $(2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})$ парабола $y = b^2 - 4b + 1$ принимает отрицательные значения. Поскольку отрезок $[2; 3]$ полностью находится внутри этого интервала, то для всех $b \in [2; 3]$ выражение $b^2 - 4b + 1$ отрицательно.
Следовательно, $|b^2 - 4b + 1| = -(b^2 - 4b + 1) = -b^2 + 4b - 1$.

Теперь запишем формулу для площади треугольника как функцию от $b$ на отрезке $[2; 3]$:
$S(b) = \frac{1}{2} \cdot (b + 2) \cdot (-b^2 + 4b - 1)$
$S(b) = \frac{1}{2} (-b^3 + 4b^2 - b - 2b^2 + 8b - 2)$
$S(b) = \frac{1}{2} (-b^3 + 2b^2 + 7b - 2)$

Чтобы найти наибольшее значение площади, нужно исследовать эту функцию на отрезке $[2; 3]$. Для этого найдем её производную и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.
$S'(b) = \frac{1}{2} (-3b^2 + 4b + 7)$
Приравняем производную к нулю: $-3b^2 + 4b + 7 = 0$ или $3b^2 - 4b - 7 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$
$b_1 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$b_2 = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Критическая точка $b_2 = -1$ не принадлежит отрезку $[2; 3]$.
Критическая точка $b_1 = \frac{7}{3}$ принадлежит отрезку $[2; 3]$, так как $2 = \frac{6}{3}$ и $3 = \frac{9}{3}$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно сравнить её значения в критической точке $b = \frac{7}{3}$ и на концах отрезка $b=2$ и $b=3$.
$S(2) = \frac{1}{2} (-2^3 + 2(2^2) + 7(2) - 2) = \frac{1}{2} (-8 + 8 + 14 - 2) = \frac{12}{2} = 6$.
$S(3) = \frac{1}{2} (-3^3 + 2(3^2) + 7(3) - 2) = \frac{1}{2} (-27 + 18 + 21 - 2) = \frac{10}{2} = 5$.
$S(\frac{7}{3}) = \frac{1}{2} (-(\frac{7}{3})^3 + 2(\frac{7}{3})^2 + 7(\frac{7}{3}) - 2) = \frac{1}{2} (-\frac{343}{27} + \frac{98}{9} + \frac{49}{3} - 2) = \frac{1}{2} (\frac{-343 + 294 + 441 - 54}{27}) = \frac{1}{2} (\frac{338}{27}) = \frac{169}{27}$.
Сравним полученные значения: $S(2) = 6 = \frac{162}{27}$, $S(3) = 5 = \frac{135}{27}$, $S(\frac{7}{3}) = \frac{169}{27}$.
Наибольшее значение площади $\frac{169}{27}$ достигается при $b = \frac{7}{3}$.

Теперь найдем координаты точки $C$, при которых площадь максимальна. Мы знаем, что $x_C = b = \frac{7}{3}$.
Найдем ординату $y_C$:
$y_C = b^2 - 4b + 1 = (\frac{7}{3})^2 - 4(\frac{7}{3}) + 1 = \frac{49}{9} - \frac{28}{3} + 1 = \frac{49 - 84 + 9}{9} = \frac{58 - 84}{9} = -\frac{26}{9}$.
Следовательно, координаты точки $C$ равны $(\frac{7}{3}; -\frac{26}{9})$.

Ответ: $(\frac{7}{3}; -\frac{26}{9})$.

43.26. Пункты А, В и С находятся в вершинах прямоугольного треугольника АВС ($ \angle ACB = 90^\circ $), $ AC = 285 $ км, $ BC = 60 $ км. Пункты А и С соединяет железная дорога. В какую точку отрезка АС следует провести грунтовую дорогу из пункта В, чтобы время пребывания в пути от пункта А до пункта В было наименьшим, если известно, что скорость движения по железной дороге равна $ 52 $ км/ч, а по грунтовой дороге — $ 20 $ км/ч?

Пусть точка D находится на отрезке AC. Обозначим расстояние от точки C до точки D через $x$ км. Тогда $CD = x$. Поскольку точка D лежит на отрезке AC, то $0 \le x \le 285$.

Путь от A до B состоит из двух участков:

1. Участок AD по железной дороге. Длина этого участка: $AD = AC - CD = 285 - x$ км. Скорость движения на этом участке $v_{жд} = 52$ км/ч.
2. Участок DB по грунтовой дороге. Треугольник BCD является прямоугольным, так как $\angle ACB = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем длину этого участка: $DB = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{60^2 + x^2} = \sqrt{3600 + x^2}$ км. Скорость движения на этом участке $v_{гр} = 20$ км/ч.

Общее время в пути $T$ является функцией от $x$ и равно сумме времени движения по каждому участку:

$T(x) = \frac{AD}{v_{жд}} + \frac{DB}{v_{гр}} = \frac{285 - x}{52} + \frac{\sqrt{3600 + x^2}}{20}$

Чтобы найти наименьшее время, необходимо найти минимум функции $T(x)$ на отрезке $[0, 285]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left(\frac{285 - x}{52} + \frac{(3600 + x^2)^{1/2}}{20}\right)' = -\frac{1}{52} + \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}(3600 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = -\frac{1}{52} + \frac{x}{20\sqrt{3600 + x^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$T'(x) = 0$

$-\frac{1}{52} + \frac{x}{20\sqrt{3600 + x^2}} = 0$

$\frac{x}{20\sqrt{3600 + x^2}} = \frac{1}{52}$

$52x = 20\sqrt{3600 + x^2}$

Разделим обе части на 4:

$13x = 5\sqrt{3600 + x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (поскольку $x$ - это расстояние, $x \ge 0$, то это преобразование является равносильным):

$(13x)^2 = (5\sqrt{3600 + x^2})^2$

$169x^2 = 25(3600 + x^2)$

$169x^2 = 90000 + 25x^2$

$169x^2 - 25x^2 = 90000$

$144x^2 = 90000$

$x^2 = \frac{90000}{144} = \frac{900 \cdot 100}{144} = \frac{900}{144} \cdot 100 = \frac{100}{16} \cdot 100 = 625$

$x = \sqrt{625} = 25$

Полученное значение $x = 25$ принадлежит отрезку $[0, 285]$. Это единственная критическая точка на данном интервале. Можно проверить, что при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. Таким образом, наименьшее время пребывания в пути будет достигнуто, если грунтовая дорога будет соединять пункт B с точкой D на отрезке AC, находящейся на расстоянии 25 км от пункта C.

Ответ: грунтовую дорогу следует провести из пункта B в точку на отрезке AC, находящуюся на расстоянии 25 км от пункта C.

43.27. Завод A расположен на расстоянии 50 км от прямолинейного участка железной дороги, которая ведёт в город B, и на расстоянии 130 км от города B. Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе от завода A, чтобы доставка грузов из A в B была самой дешёвой, если стоимость перевозок по шоссе в 2 раза больше, чем по железной дороге?

Обозначим завод как точку A, город как точку B. Пусть H — это точка на железной дороге, ближайшая к заводу A. Тогда AH — это перпендикуляр, опущенный из A на железную дорогу, и его длина составляет $AH = 50$ км. Расстояние от завода до города B равно $AB = 130$ км.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, где $\angle AHB = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем расстояние HB вдоль железной дороги от точки H до города B:

$HB^2 = AB^2 - AH^2 = 130^2 - 50^2 = 16900 - 2500 = 14400$

$HB = \sqrt{14400} = 120$ км.

Пусть шоссе от завода A соединяется с железной дорогой в точке P. Грузы будут доставляться по шоссе от A до P, а затем по железной дороге от P до B. Нам нужно найти такое положение точки P, чтобы общая стоимость перевозки была минимальной.

Обозначим расстояние $HP = x$. Тогда расстояние, которое нужно проехать по шоссе, AP, можно найти из прямоугольного треугольника AHP:

$AP = \sqrt{AH^2 + HP^2} = \sqrt{50^2 + x^2} = \sqrt{2500 + x^2}$

Расстояние, которое нужно проехать по железной дороге, будет $PB = HB - HP = 120 - x$. Точка P должна лежать между H и B, поэтому $0 \le x \le 120$.

Пусть $c$ — стоимость перевозки на 1 км по железной дороге. Тогда, по условию, стоимость перевозки на 1 км по шоссе равна $2c$.

Общая стоимость перевозки $S(x)$ как функция от $x$ будет равна:

$S(x) = (\text{длина шоссе}) \times (\text{стоимость по шоссе}) + (\text{длина ж/д}) \times (\text{стоимость по ж/д})$

$S(x) = 2c \cdot AP + c \cdot PB = 2c\sqrt{2500 + x^2} + c(120 - x)$

Чтобы найти минимальную стоимость, нужно найти минимум этой функции. Поскольку $c$ — положительная константа, мы можем минимизировать функцию $f(x) = 2\sqrt{2500 + x^2} + 120 - x$. Для этого найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

$f'(x) = \left(2(2500 + x^2)^{1/2} + 120 - x\right)' = 2 \cdot \frac{1}{2}(2500 + x^2)^{-1/2} \cdot (2x) - 1 = \frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} - 1$

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} - 1 = 0$

$\frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} = 1$

$2x = \sqrt{2500 + x^2}$

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $x \ge 0$):

$4x^2 = 2500 + x^2$

$3x^2 = 2500$

$x^2 = \frac{2500}{3} \Rightarrow x = \frac{50}{\sqrt{3}}$ км.

Теперь нам нужно найти угол, под которым шоссе следует провести к железной дороге. Этот угол — это $\alpha = \angle APH$ в прямоугольном треугольнике AHP. Мы можем найти косинус этого угла:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{HP}{AP} = \frac{x}{\sqrt{2500 + x^2}}$

Из уравнения, полученного при нахождении производной, мы знаем, что $\frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} = 1$. Отсюда следует, что $\frac{x}{\sqrt{2500 + x^2}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $1/2$, составляет $60^\circ$.

Ответ: Шоссе следует провести под углом $60^\circ$ к железной дороге.

43.28. Докажите неравенство $-20 \le x^3 - 3x^2 \le 16$, где $x \in [-2; 4]$.

Для того чтобы доказать неравенство $-20 \le x^3 - 3x^2 \le 16$ на отрезке $x \in [-2; 4]$, необходимо найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ на этом отрезке.

1. Найдем производную функции $f(x)$

Производная функции $f(x)$ по переменной $x$ равна:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки функции

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки, которые могут быть точками экстремума:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-2; 4]$

Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Точка $x_2 = 2$ также принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом отрезке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$ и $x = 4$.

• При $x = -2$: $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 = -8 - 3 \cdot 4 = -8 - 12 = -20$.
• При $x = 0$: $f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0 - 0 = 0$.
• При $x = 2$: $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 3 \cdot 4 = 8 - 12 = -4$.
• При $x = 4$: $f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 = 64 - 3 \cdot 16 = 64 - 48 = 16$.

5. Определим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Сравнивая полученные значения $f(-2) = -20$, $f(0) = 0$, $f(2) = -4$ и $f(4) = 16$, находим:

Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 4]$ равно $-20$ (достигается при $x = -2$).

Наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 4]$ равно $16$ (достигается при $x = 4$).

Таким образом, для любого $x$ из отрезка $[-2; 4]$ выполняется неравенство $-20 \le f(x) \le 16$, то есть $-20 \le x^3 - 3x^2 \le 16$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

43.29. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -5x^3 + x|x - 1|$ на промежутке $[0; 2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -5x^3 + x|x-1|$ на промежутке $[0, 2]$, необходимо найти значения функции на концах промежутка и в критических точках (точках, где производная равна нулю или не существует), принадлежащих этому промежутку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Функция содержит модуль $|x-1|$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая на промежутке $[0, 2]$. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак, — $x=1$.

1. На промежутке $x \in [0, 1]$ выражение под модулем $x-1 \le 0$, следовательно, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $f(x) = -5x^3 + x(1-x) = -5x^3 - x^2 + x$.

2. На промежутке $x \in [1, 2]$ выражение под модулем $x-1 \ge 0$, следовательно, $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $f(x) = -5x^3 + x(x-1) = -5x^3 + x^2 - x$.

Таким образом, функция $f(x)$ является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} -5x^3 - x^2 + x, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ -5x^3 + x^2 - x, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

Теперь найдем критические точки.

На интервале $(0, 1)$ найдем производную: $f'(x) = (-5x^3 - x^2 + x)' = -15x^2 - 2x + 1$. Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $-15x^2 - 2x + 1 = 0 \implies 15x^2 + 2x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 2^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-1) = 4 + 60 = 64$. Корни уравнения: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 15} = \frac{-2 \pm 8}{30}$. $x_1 = \frac{-2 + 8}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0, 2]$. $x_2 = \frac{-2 - 8}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку $[0, 2]$. Значит, $x=1/5$ является критической точкой.

На интервале $(1, 2)$ найдем производную: $f'(x) = (-5x^3 + x^2 - x)' = -15x^2 + 2x - 1$. Приравняем производную к нулю: $-15x^2 + 2x - 1 = 0 \implies 15x^2 - 2x + 1 = 0$. Дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 4 - 60 = -56$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и на интервале $(1, 2)$ стационарных точек нет.

Проверим точку $x=1$, в которой меняется аналитическое задание функции. В этой точке производная может не существовать. Найдем левую и правую производные: $f'_-(1) = -15(1)^2 - 2(1) + 1 = -15 - 2 + 1 = -16$. $f'_+(1) = -15(1)^2 + 2(1) - 1 = -15 + 2 - 1 = -14$. Поскольку односторонние производные не равны ($f'_-(1) \neq f'_+(1)$), производная в точке $x=1$ не существует, следовательно, $x=1$ является критической точкой.

Вычислим значения функции в найденных критических точках ($x=1/5$, $x=1$) и на концах заданного промежутка ($x=0$, $x=2$).

• $f(0) = -5(0)^3 + 0|0-1| = 0$
• $f(1/5) = -5(1/5)^3 - (1/5)^2 + 1/5 = -5/125 - 1/25 + 1/5 = -1/25 - 1/25 + 5/25 = 3/25$
• $f(1) = -5(1)^3 + 1|1-1| = -5 + 0 = -5$
• $f(2) = -5(2)^3 + 2|2-1| = -5(8) + 2(1) = -40 + 2 = -38$

Сравним полученные значения: $0$, $3/25$, $-5$, $-38$.

Наибольшее из этих значений равно $3/25$.

Наименьшее из этих значений равно $-38$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке $[0, 2]$ равно $3/25$, а наименьшее значение равно $-38$.