Страница 339 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.30. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 4x^3 - x|x - 2|$ на промежутке $[0; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4x^3 - x|x-2|$ на отрезке $[0; 3]$, необходимо сначала раскрыть модуль, а затем найти значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку.

1. Раскрытие модуля
Выражение под знаком модуля, $x-2$, меняет свой знак в точке $x=2$. Поскольку эта точка принадлежит рассматриваемому отрезку $[0; 3]$, мы должны рассмотреть два случая:
а) При $x \in [0; 2)$, имеем $x-2 < 0$, и следовательно, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
На этом промежутке функция принимает вид: $f(x) = 4x^3 - x(2-x) = 4x^3 - 2x + x^2 = 4x^3 + x^2 - 2x$.
б) При $x \in [2; 3]$, имеем $x-2 \ge 0$, и следовательно, $|x-2| = x-2$.
На этом промежутке функция принимает вид: $f(x) = 4x^3 - x(x-2) = 4x^3 - x^2 + 2x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 4x^3 + x^2 - 2x, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ 4x^3 - x^2 + 2x, & \text{если } 2 \le x \le 3 \end{cases}$

2. Поиск стационарных и критических точек
Найдем производную функции на каждом из интервалов, чтобы найти стационарные точки (где производная равна нулю).
а) Для интервала $(0; 2)$:
$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 2x)' = 12x^2 + 2x - 2$.
Приравняем производную к нулю: $12x^2 + 2x - 2 = 0$, что эквивалентно $6x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Этот корень принадлежит интервалу $(0; 2)$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0; 3]$.
б) Для интервала $(2; 3)$:
$f'(x) = (4x^3 - x^2 + 2x)' = 12x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю: $12x^2 - 2x + 2 = 0$, что эквивалентно $6x^2 - x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 - 24 = -23$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней, и на интервале $(2; 3)$ стационарных точек нет.
Точка $x=2$ является критической, так как в ней меняется аналитическое выражение для функции (и производная может не существовать).

3. Вычисление значений функции в ключевых точках
Теперь вычислим значения функции на концах отрезка ($x=0$ и $x=3$) и в найденных точках ($x=1/3$ и $x=2$).
$f(0) = 4(0)^3 + 0^2 - 2(0) = 0$.
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27}$.
$f(2) = 4(2)^3 - 2|2-2| = 4 \cdot 8 - 0 = 32$.
$f(3) = 4(3)^3 - 3|3-2| = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105$.

4. Сравнение значений
Мы получили четыре значения-кандидата: $0$, $-\frac{11}{27}$, $32$ и $105$.
Сравнивая эти числа, мы можем определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Наибольшее значение
Наибольшим из полученных значений является $105$, которое достигается при $x=3$.
Ответ: $105$.

Наименьшее значение
Наименьшим из полученных значений является $-\frac{11}{27}$, которое достигается при $x=\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{11}{27}$.

43.31. Решите уравнение $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$

Исходное уравнение: $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:$\begin{cases}5-x \geq 0 \\x-3 \geq 0\end{cases}$Решая эту систему неравенств, получаем:$\begin{cases}x \leq 5 \\x \geq 3\end{cases}$Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, 5]$.

2. Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = \sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}$. Найдем ее наибольшее значение на отрезке $[3, 5]$. Для этого можно использовать производную или метод оценки. Воспользуемся вторым методом. По неравенству Коши-Буняковского (или оценив через сумму квадратов):$(\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3})^2 \leq (1^2+1^2)((\sqrt{5-x})^2 + (\sqrt{x-3})^2) = 2(5-x+x-3) = 2 \cdot 2 = 4$. Отсюда следует, что $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \leq \sqrt{4} = 2$. Равенство достигается, когда $\sqrt{5-x} = \sqrt{x-3}$, что приводит к уравнению $5-x = x-3$, откуда $2x=8$ и $x=4$. Значение $x=4$ принадлежит ОДЗ. Таким образом, максимальное значение левой части уравнения равно 2 и достигается при $x=4$.

3. Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = x^2 - 8x + 18$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине. Выделим полный квадрат:$x^2 - 8x + 18 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 16) - 16 + 18 = (x-4)^2 + 2$. Поскольку $(x-4)^2 \geq 0$ для любого $x$, то наименьшее значение правой части равно 2. Это значение достигается при $(x-4)^2=0$, то есть при $x=4$.

4. Сопоставим результаты. Исходное уравнение может иметь решение только в том случае, когда его левая и правая части равны. Мы получили, что на ОДЗ:

• левая часть $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \leq 2$;
• правая часть $x^2 - 8x + 18 \geq 2$.

Равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 2. Это происходит при $x=4$.

5. Проверим, является ли $x=4$ корнем уравнения, подставив его в исходное выражение:$\sqrt{5-4} + \sqrt{4-3} = 4^2 - 8 \cdot 4 + 18$$\sqrt{1} + \sqrt{1} = 16 - 32 + 18$$1 + 1 = 2$$2 = 2$Равенство верное, значит $x=4$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $4$.

43.32. Решите уравнение $\sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} = x^2 + 6x + 13.$

Для решения уравнения $ \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} = x^2+6x+13 $ воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ)
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:$ \begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} $$ \begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 1 \end{cases} $Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x \in [-7; 1] $.

2. Оценим левую часть уравнения
Рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} $ на отрезке $ [-7; 1] $ и найдем ее наибольшее значение. Для этого можно использовать производную. Найдем производную функции $ f(x) $:$ f'(x) = (\sqrt{x+7} + \sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} $. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$ \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0 $$ \frac{1}{\sqrt{x+7}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} $$ \sqrt{x+7} = \sqrt{1-x} $Возведя обе части в квадрат, получим: $ x+7 = 1-x $, откуда $ 2x = -6 $ и $ x = -3 $. Точка $ x = -3 $ принадлежит ОДЗ. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:$ f(-7) = \sqrt{-7+7} + \sqrt{1-(-7)} = \sqrt{0} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $.$ f(1) = \sqrt{1+7} + \sqrt{1-1} = \sqrt{8} + \sqrt{0} = 2\sqrt{2} $.$ f(-3) = \sqrt{-3+7} + \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2+2=4 $. Следовательно, наибольшее значение левой части уравнения на ОДЗ равно 4. Таким образом, $ \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} \le 4 $.

3. Оценим правую часть уравнения
Рассмотрим функцию $ g(x) = x^2+6x+13 $. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы:$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 $. Эта точка принадлежит ОДЗ. Найдем наименьшее значение функции $ g(x) $:$ g(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 13 = 9 - 18 + 13 = 4 $. Следовательно, наименьшее значение правой части уравнения на ОДЗ равно 4. Таким образом, $ x^2+6x+13 \ge 4 $.

4. Сделаем вывод и найдём решение
Мы установили, что для всех $ x $ из ОДЗ выполняются неравенства:$ \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} \le 4 $ и $ x^2+6x+13 \ge 4 $. Равенство в исходном уравнении возможно тогда и только тогда, когда обе его части одновременно равны 4. Это эквивалентно системе уравнений:$ \begin{cases} \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} = 4 \\ x^2+6x+13 = 4 \end{cases} $Из анализа функций мы знаем, что обе части принимают значение 4 при $ x = -3 $. Проверим это, решив второе уравнение:$ x^2+6x+13 = 4 $$ x^2+6x+9 = 0 $$ (x+3)^2 = 0 $$ x = -3 $. Этот корень является единственным для второго уравнения, и, как мы уже проверили, он также удовлетворяет первому уравнению. Следовательно, $ x=-3 $ — единственный корень исходного уравнения.

Ответ: -3