Страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.8. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 12: $x + y = 12$. Отсюда можно выразить одно число через другое: $y = 12 - x$. Поскольку числа неотрицательные, то $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Условие $y \ge 0$ означает, что $12 - x \ge 0$, то есть $x \le 12$. Таким образом, мы ищем число $x$ на отрезке $[0, 12]$.

Нам нужно найти наибольшее значение произведения квадрата одного из чисел на удвоенное второе число. Составим функцию, которую необходимо максимизировать. Пусть число, которое возводится в квадрат, — это $x$. Тогда искомое произведение можно записать в виде функции от $x$: $f(x) = x^2 \cdot (2y) = x^2 \cdot 2(12 - x) = 24x^2 - 2x^3$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 12]$, найдем её производную: $f'(x) = (24x^2 - 2x^3)' = 48x - 6x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $48x - 6x^2 = 0$ $6x(8 - x) = 0$ Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Обе точки принадлежат рассматриваемому отрезку $[0, 12]$.

Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка $[0, 12]$:

• $f(0) = 24 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^3 = 0$.
• $f(8) = 24 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8^3 = 24 \cdot 64 - 2 \cdot 512 = 1536 - 1024 = 512$.
• $f(12) = 24 \cdot 12^2 - 2 \cdot 12^3 = 2 \cdot 12^2 \cdot (12 - 12) = 0$.

Наибольшее значение функции достигается при $x = 8$. Тогда второе число $y = 12 - x = 12 - 8 = 4$.

Таким образом, число 12 нужно представить в виде суммы чисел 8 и 4.

Ответ: $12 = 8 + 4$.

43.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$, $[0; \frac{\pi}{3}]$;

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5$, $[0; \frac{\pi}{3}]$;

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$, мы можем упростить выражение для функции. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Применив эту формулу к $\cos 4x$ (полагая $\alpha = 2x$), получим:$\cos 4x = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Теперь подставим это в исходную функцию:$f(x) = 2\sin 2x + 1 - 2\sin^2(2x)$.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$. Функция примет вид:$g(t) = -2t^2 + 2t + 1$.

Далее определим, в каких пределах изменяется переменная $t$, когда $x$ изменяется на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$. Если $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, то аргумент $2x$ находится в пределах $[0; \frac{2\pi}{3}]$. На отрезке $[0; \frac{2\pi}{3}]$ функция $\sin(2x)$ сначала возрастает от $\sin(0)=0$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, а затем убывает до $\sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, множество значений $t$ на данном отрезке — это $[0; 1]$.

Наша задача теперь сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $g(t) = -2t^2 + 2t + 1$ на отрезке $t \in [0; 1]$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Координата вершины: $t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$. Так как $t_в = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0; 1]$, наибольшее значение функции будет в этой точке:$g_{наиб} = g(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = -2 \cdot \frac{1}{4} + 1 + 1 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.

Наименьшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Проверим значения в точках $t=0$ и $t=1$:$g(0) = -2(0)^2 + 2(0) + 1 = 1$.$g(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$. Наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[0; 1]$ равно 1.

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ на заданном отрезке равно $\frac{3}{2}$, а наименьшее — 1.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{3}{2}$, наименьшее значение функции равно 1.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x - 5$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$, преобразуем часть выражения с помощью метода введения вспомогательного угла.

Рассмотрим выражение $\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x$. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$:$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x)$.

Заметим, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:$2(\sin 2x \cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{6}) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$.

Теперь исходная функция имеет вид:$f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 5$.

Найдем область значений аргумента синуса. Если $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, то:$0 \le x \le \frac{\pi}{3}$$0 \le 2x \le \frac{2\pi}{3}$$\frac{\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$.

Пусть $u = 2x + \frac{\pi}{6}$. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение $\sin u$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$. На этом отрезке функция синус возрастает от $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ до максимального значения $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, а затем убывает до $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Таким образом, наименьшее значение $\sin(2x + \frac{\pi}{6})$ на отрезке равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее равно 1.

Теперь можем найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$:Наибольшее значение: $f_{наиб} = 2 \cdot 1 - 5 = -3$. Наименьшее значение: $f_{наим} = 2 \cdot \frac{1}{2} - 5 = 1 - 5 = -4$.
Ответ: наибольшее значение функции равно -3, наименьшее значение функции равно -4.

43.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = 2\cos x - \sin 2x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

2) $f(x) = 2\sqrt{3} \cos x + 2\sin x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

1) Для функции $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x)=0$.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2\cos x - \sin 2x)' = -2\sin x - (\cos 2x) \cdot 2 = -2\sin x - 2\cos 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение, чтобы найти критические точки:
$-2\sin x - 2\cos 2x = 0$
$\sin x + \cos 2x = 0$
Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$:
$2t^2 - t - 1 = 0$
Находим корни квадратного уравнения:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

3. Возвращаемся к переменной $x$ и находим точки, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$:
Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = \frac{\pi}{2}$.
Если $\sin x = -\frac{1}{2}$, то $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ принадлежит точка $x = -\frac{\pi}{6}$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = -\frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6}) - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

5. Сравниваем полученные значения: $0$ и $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наибольшее значение функции: $f_{наиб.} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение функции: $f_{наим.} = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $0$.

2) Для функции $f(x) = 2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Действуем по тому же алгоритму.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x)' = -2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x$.

2. Находим критические точки:
$-2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x = 0$
$2\cos x = 2\sqrt{3}\sin x$
$\cos x = \sqrt{3}\sin x$
Заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$1 = \sqrt{3}\tan x$
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. Находим точку, принадлежащую отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$:
$x = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.
Заданному отрезку принадлежит только точка $x = \frac{\pi}{6}$.

4. Вычисляем значения функции в критической точке $x = \frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{2}) + 2\sin(-\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$.
$f(\frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 = 4$.

5. Сравниваем полученные значения: $-2, 2, 4$.
Наибольшее значение функции: $f_{наиб.} = 4$.
Наименьшее значение функции: $f_{наим.} = -2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $4$, наименьшее значение равно $-2$.

43.11. Разбейте число 180 на три неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как $1 : 2$, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.

Пусть искомые три неотрицательных слагаемых – это $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 180:

$a + b + c = 180$

Также известно, что два из слагаемых относятся как 1:2. Без ограничения общности, можно предположить, что это слагаемые $a$ и $b$. Таким образом, мы можем записать их как $a = x$ и $b = 2x$, где $x$ – некоторый неотрицательный коэффициент пропорциональности ($x \geq 0$).

Подставим эти выражения в уравнение суммы:

$x + 2x + c = 180$

$3x + c = 180$

Отсюда выразим третье слагаемое $c$ через $x$:

$c = 180 - 3x$

Поскольку все слагаемые должны быть неотрицательными, то $c \geq 0$. Это накладывает ограничение на $x$:

$180 - 3x \geq 0$

$180 \geq 3x$

$x \leq 60$

Таким образом, переменная $x$ должна находиться в пределах от 0 до 60, то есть $x \in [0, 60]$.

Нам необходимо максимизировать произведение всех трёх слагаемых, которое обозначим как $P$:

$P = a \cdot b \cdot c = x \cdot (2x) \cdot (180 - 3x)$

Мы получили функцию $P(x)$, которую нужно максимизировать на отрезке $[0, 60]$:

$P(x) = 2x^2(180 - 3x) = 360x^2 - 6x^3$

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(x)$ по переменной $x$:

$P'(x) = (360x^2 - 6x^3)' = 360 \cdot 2x - 6 \cdot 3x^2 = 720x - 18x^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$720x - 18x^2 = 0$

$18x(40 - x) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 40$. Обе критические точки принадлежат отрезку $[0, 60]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить её значения в критических точках и на концах отрезка:

• $P(0) = 360(0)^2 - 6(0)^3 = 0$
• $P(40) = 360(40)^2 - 6(40)^3 = 360 \cdot 1600 - 6 \cdot 64000 = 576000 - 384000 = 192000$
• $P(60) = 360(60)^2 - 6(60)^3 = 6 \cdot 60 \cdot 60^2 - 6 \cdot 60^3 = 6 \cdot 60^3 - 6 \cdot 60^3 = 0$

Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что произведение достигает своего максимума при $x = 40$.

Теперь найдем значения всех трёх слагаемых:

$a = x = 40$

$b = 2x = 2 \cdot 40 = 80$

$c = 180 - 3x = 180 - 3 \cdot 40 = 180 - 120 = 60$

Таким образом, число 180 разбивается на слагаемые 40, 80 и 60. Проверим выполнение условий: они неотрицательны, их сумма $40 + 80 + 60 = 180$, и два из них ($40$ и $80$) относятся как $1:2$.

Ответ: 40, 60, 80.

43.12. Представьте число 18 в виде суммы трёх неотрицательных чисел так, чтобы два из них относились как $8 : 3$, а сумма кубов этих трёх чисел была наименьшей.

Пусть искомые три неотрицательных числа — это $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 18:

$a + b + c = 18$

Два из этих чисел, например $a$ и $b$, относятся как 8 : 3. Это можно записать с помощью неотрицательного коэффициента пропорциональности $k$ ($k \ge 0$):

$a = 8k$, $b = 3k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы чисел, чтобы выразить третье число $c$ через $k$:

$8k + 3k + c = 18$

$11k + c = 18$

$c = 18 - 11k$

Так как все числа по условию неотрицательные, мы должны учесть следующие ограничения:

$a = 8k \ge 0 \implies k \ge 0$

$b = 3k \ge 0 \implies k \ge 0$

$c = 18 - 11k \ge 0 \implies 11k \le 18 \implies k \le \frac{18}{11}$

Таким образом, коэффициент $k$ должен находиться в пределах отрезка $[0, \frac{18}{11}]$.

Теперь составим функцию, которую нужно минимизировать, — сумму кубов трёх чисел:

$S(k) = a^3 + b^3 + c^3 = (8k)^3 + (3k)^3 + (18 - 11k)^3$

$S(k) = 512k^3 + 27k^3 + (18 - 11k)^3 = 539k^3 + (18 - 11k)^3$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(k)$ на отрезке $[0, \frac{18}{11}]$, найдем её производную и приравняем к нулю для определения критических точек:

$S'(k) = (539k^3 + (18 - 11k)^3)'$

$S'(k) = 539 \cdot 3k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (18 - 11k)'$

$S'(k) = 1617k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (-11)$

$S'(k) = 1617k^2 - 33(324 - 396k + 121k^2)$

$S'(k) = 1617k^2 - 10692 + 13068k - 3993k^2$

$S'(k) = -2376k^2 + 13068k - 10692$

Приравняем производную к нулю:

$-2376k^2 + 13068k - 10692 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на -99:

$24k^2 - 132k + 108 = 0$

Разделим еще на 12:

$2k^2 - 11k + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$

Найдем корни:

$k_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$k_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Проверим, входят ли найденные корни в наш отрезок $[0, \frac{18}{11}]$.

Поскольку $\frac{18}{11} \approx 1.636$, корень $k_1 = 1$ принадлежит отрезку, а корень $k_2 = 4.5$ — нет.

Таким образом, наименьшее значение функции $S(k)$ на отрезке нужно искать среди её значений в критической точке $k=1$ и на концах отрезка $k=0$ и $k=\frac{18}{11}$.

1. При $k=1$:

$a = 8 \cdot 1 = 8$

$b = 3 \cdot 1 = 3$

$c = 18 - 11 \cdot 1 = 7$

Сумма кубов: $S(1) = 8^3 + 3^3 + 7^3 = 512 + 27 + 343 = 882$.

2. При $k=0$:

$a = 8 \cdot 0 = 0$

$b = 3 \cdot 0 = 0$

$c = 18 - 11 \cdot 0 = 18$

Сумма кубов: $S(0) = 0^3 + 0^3 + 18^3 = 5832$.

3. При $k=\frac{18}{11}$:

$a = 8 \cdot \frac{18}{11} = \frac{144}{11}$

$b = 3 \cdot \frac{18}{11} = \frac{54}{11}$

$c = 18 - 11 \cdot \frac{18}{11} = 0$

Сумма кубов: $S(\frac{18}{11}) = (\frac{144}{11})^3 + (\frac{54}{11})^3 + 0^3 = \frac{2985984 + 157464}{1331} = \frac{3143448}{1331} \approx 2361.7$.

Сравнивая полученные значения ($882$, $5832$, $2361.7$), мы видим, что наименьшее значение достигается при $k=1$. При этом значении $k$ искомые числа равны 8, 3 и 7.

Ответ: 8, 3, 7.

43.13. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне $AC$, а две другие — на сторонах $AB$ и $BC$. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если $AC = 12$ см, $BD = 10$ см, где $BD$ — высота треугольника $ABC$.

Пусть в треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его вершины $K$ и $N$ лежат на стороне $AC$, а вершины $L$ и $M$ — на сторонах $BC$ и $AB$ соответственно. Обозначим высоту прямоугольника $h$ (длину стороны $ML$) и его ширину $w$ (длину стороны $MN$). Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = w \cdot h$. Наша задача — найти максимальное значение этой площади.

Проведем высоту $BD$ треугольника $ABC$ к основанию $AC$. По условию, $AC = 12$ см и $BD = 10$ см. Пусть высота $BD$ пересекает сторону $MN$ прямоугольника в точке $E$.

Поскольку сторона $MN$ прямоугольника параллельна стороне $AC$ треугольника, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Высота $BE$ треугольника $MBN$ (проведенная из вершины $B$ к стороне $MN$) является частью высоты $BD$. Длина высоты $BE$ равна разности высоты $BD$ и высоты прямоугольника $h$. То есть, $BE = BD - ED = 10 - h$.

Из подобия треугольников $MBN$ и $ABC$ следует, что отношение их оснований равно отношению их высот:$ \frac{MN}{AC} = \frac{BE}{BD} $

Подставим известные значения и наши переменные в эту пропорцию:$ \frac{w}{12} = \frac{10 - h}{10} $

Выразим ширину $w$ через высоту $h$:$ w = 12 \cdot \frac{10 - h}{10} = 1.2(10 - h) = 12 - 1.2h $

Теперь подставим это выражение для $w$ в формулу площади прямоугольника, чтобы получить зависимость площади только от одной переменной $h$:$ S(h) = w \cdot h = (12 - 1.2h) \cdot h = 12h - 1.2h^2 $

Эта функция $S(h)$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $h^2$ отрицательный ($-1.2$). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы. Координата вершины $h_0$ находится по формуле $h_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = -1.2$ и $b = 12$.$ h_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1.2)} = -\frac{12}{-2.4} = \frac{120}{24} = 5 $

Таким образом, площадь прямоугольника будет наибольшей при его высоте $h = 5$ см. Теперь найдем это наибольшее значение площади, подставив $h=5$ в нашу функцию $S(h)$:$ S_{max} = 12 \cdot 5 - 1.2 \cdot 5^2 = 60 - 1.2 \cdot 25 = 60 - 30 = 30 $

Ответ: 30 см$^2$.

43.14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом $30^\circ$ вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Гипотенуза $AB = 16$ см, и один из острых углов, например $\angle A = 30^\circ$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Найдем длины катетов треугольника:
Катет $BC$, противолежащий углу $A$: $BC = AB \cdot \sin(A) = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
Катет $AC$, прилежащий к углу $A$: $AC = AB \cdot \cos(A) = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

В треугольник вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Обозначим этот прямоугольник $KLMN$, где вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $M$ и $N$ — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что сторона $KL$ прямоугольника лежит на гипотенузе, а стороны $LM$ и $KN$ перпендикулярны гипотенузе.

Обозначим стороны прямоугольника: пусть его высота $KN = LM = y$, а сторона $KL = x$, лежащая на гипотенузе. Площадь прямоугольника $S = x \cdot y$. Наша задача — найти $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет наибольшей.

Рассмотрим малые прямоугольные треугольники $ANK$ (с прямым углом $K$) и $BML$ (с прямым углом $L$), образовавшиеся по краям прямоугольника.

В треугольнике $ANK$: $\angle A = 30^\circ$, катет $KN = y$. Тогда катет $AK$ можно выразить через $y$:
$\tan(A) = \frac{KN}{AK} \Rightarrow \tan(30^\circ) = \frac{y}{AK} \Rightarrow AK = \frac{y}{\tan(30^\circ)} = \frac{y}{1/\sqrt{3}} = y\sqrt{3}$.

В треугольнике $BML$: $\angle B = 60^\circ$, катет $LM = y$. Тогда катет $BL$ можно выразить через $y$:
$\tan(B) = \frac{LM}{BL} \Rightarrow \tan(60^\circ) = \frac{y}{BL} \Rightarrow BL = \frac{y}{\tan(60^\circ)} = \frac{y}{\sqrt{3}}$.

Гипотенуза $AB$ состоит из отрезков $AK$, $KL$ и $BL$:
$AB = AK + KL + BL$
$16 = y\sqrt{3} + x + \frac{y}{\sqrt{3}}$

Выразим $x$ через $y$:
$x = 16 - y\sqrt{3} - \frac{y}{\sqrt{3}} = 16 - y(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 16 - y(\frac{3+1}{\sqrt{3}}) = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}$.

Теперь запишем функцию площади прямоугольника $S$ в зависимости от $y$:
$S(y) = x \cdot y = (16 - \frac{4y}{\sqrt{3}}) \cdot y = 16y - \frac{4}{\sqrt{3}}y^2$.

Эта функция является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $y^2$ отрицателен ($-\frac{4}{\sqrt{3}} < 0$). Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Найдем координату $y$ вершины параболы $S(y) = ay^2 + by + c$ по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -\frac{4}{\sqrt{3}}$ и $b = 16$.
$y_0 = -\frac{16}{2 \cdot (-\frac{4}{\sqrt{3}})} = -\frac{16}{-\frac{8}{\sqrt{3}}} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}$.
Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна $y = 2\sqrt{3}$ см.

Найдем вторую сторону $x$, подставив значение $y$ в полученное ранее выражение:
$x = 16 - \frac{4y}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{4 \cdot (2\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16 - 8 = 8$.
Вторая сторона прямоугольника равна $x = 8$ см.

Следовательно, для того чтобы площадь вписанного прямоугольника была наибольшей, его стороны должны быть равны 8 см и $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 8 см и $2\sqrt{3}$ см.

43.15. В полукруг радиусом 20 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть полукруг радиусом $R=20$ см расположен в верхней полуплоскости с центром в начале координат. Уравнение окружности, частью которой является полукруг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Соответственно, уравнение дуги полукруга — $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Рассмотрим прямоугольник, вписанный в этот полукруг. Для того чтобы площадь была максимальной, одна из его сторон должна лежать на диаметре полукруга. Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$. Вершина $(x, y)$ лежит на дуге полукруга, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$. Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$:

$S(x) = (2x) \cdot y = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$

Нам нужно найти значение $x$ из интервала $(0, R)$, при котором функция $S(x)$ достигает своего наибольшего значения.

Для упрощения вычислений будем максимизировать квадрат площади, $S^2(x)$, так как функция $S(x)$ положительна на рассматриваемом интервале и достигает максимума при том же значении $x$, что и $S^2(x)$.

$f(x) = S^2(x) = (2x\sqrt{R^2 - x^2})^2 = 4x^2(R^2 - x^2) = 4R^2x^2 - 4x^4$

Найдем производную функции $f(x)$ по $x$:

$f'(x) = (4R^2x^2 - 4x^4)' = 8R^2x - 16x^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8R^2x - 16x^3 = 0$

$8x(R^2 - 2x^2) = 0$

Поскольку $x > 0$ (прямоугольник имеет ненулевую ширину), мы можем заключить, что:

$R^2 - 2x^2 = 0$

$2x^2 = R^2$

$x^2 = \frac{R^2}{2}$

$x = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$

Это единственная критическая точка в интервале $(0, R)$, и она является точкой максимума для функции площади.

Теперь, зная $x$, найдем стороны прямоугольника. Подставим заданное значение радиуса $R = 20$ см.

$x = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см

Одна сторона прямоугольника имеет длину $2x$:

$2x = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см.

Другая сторона имеет длину $y$:

$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{20^2 - (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{400 - 100 \cdot 2} = \sqrt{400 - 200} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника с наибольшей площадью равны $20\sqrt{2}$ см и $10\sqrt{2}$ см.

Ответ: $20\sqrt{2}$ см и $10\sqrt{2}$ см.

43.16. В полукруг радиусом 6 см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть одна из сторон вписанного прямоугольника лежит на диаметре полукруга. Введем систему координат так, чтобы центр полукруга находился в начале координат $(0, 0)$, а его диаметр — на оси абсцисс (Ox). Уравнение окружности, частью которой является полукруг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Поскольку радиус $R = 6$ см, уравнение будет $x^2 + y^2 = 36$.

Пусть вершины прямоугольника, лежащие на диаметре, имеют координаты $(-x, 0)$ и $(x, 0)$, а две другие вершины, лежащие на дуге полукруга, — $(-x, y)$ и $(x, y)$. Тогда стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$, где $x > 0$ и $y > 0$. Так как вершина $(x, y)$ лежит на полукруге, ее координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 36$. Отсюда можно выразить $y$ через $x$: $y = \sqrt{36 - x^2}$.

Периметр прямоугольника $P$ выражается формулой $P = 2(2x + y)$. Подставим в нее выражение для $y$:

$P(x) = 2(2x + \sqrt{36 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{36 - x^2}$

Чтобы найти наибольший периметр, необходимо найти максимум функции $P(x)$ на интервале $(0, 6)$. Для этого найдем производную функции $P(x)$ по переменной $x$:

$P'(x) = \frac{d}{dx}(4x + 2\sqrt{36 - x^2}) = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{36 - x^2}} \cdot (-2x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}} = 0$

$4 = \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$

$2\sqrt{36 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4(36 - x^2) = x^2$

$144 - 4x^2 = x^2$

$5x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{5}$

$x = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Убедимся, что эта точка является точкой максимума. При $x < \frac{12\sqrt{5}}{5}$ производная $P'(x) > 0$ (функция возрастает), а при $x > \frac{12\sqrt{5}}{5}$ производная $P'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в этой точке достигается максимум.

Теперь найдем длины сторон прямоугольника:

Длина одной стороны (основания): $2x = 2 \cdot \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{24\sqrt{5}}{5}$ см.

Длина другой стороны (высоты): $y = \sqrt{36 - x^2} = \sqrt{36 - \frac{144}{5}} = \sqrt{\frac{180 - 144}{5}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{24\sqrt{5}}{5}$ см и $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.

43.17. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 12 - x^2$, $D(y) = [-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}]$, а две другие — оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть вершины прямоугольника, лежащие на оси абсцисс (оси $Ox$), имеют координаты $(-x_0, 0)$ и $(x_0, 0)$, где $x_0 > 0$. Так как функция $y = 12 - x^2$ является четной (ее график симметричен относительно оси ординат), то две другие вершины, лежащие на графике, будут иметь координаты $(-x_0, y_0)$ и $(x_0, y_0)$, где $y_0 = 12 - x_0^2$.

Ширина такого прямоугольника будет равна $x_0 - (-x_0) = 2x_0$. Высота прямоугольника будет равна $y_0 = 12 - x_0^2$. Для существования прямоугольника его высота должна быть положительной, то есть $12 - x_0^2 > 0$.

Площадь прямоугольника $S$ можно выразить как функцию от $x_0$:$S(x_0) = (\text{ширина}) \cdot (\text{высота}) = 2x_0(12 - x_0^2) = 24x_0 - 2x_0^3$.

В условии задана область определения $D(y) = [-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}]$, что означает $-2\sqrt{3} \le x_0 \le 2\sqrt{3}$. Учитывая, что мы взяли $x_0 > 0$ и высота должна быть положительной ($x_0^2 < 12 \Rightarrow x_0 < \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$), мы ищем наибольшее значение функции $S(x_0)$ на интервале $x_0 \in (0, 2\sqrt{3})$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции площади по $x_0$:$S'(x_0) = (24x_0 - 2x_0^3)' = 24 - 6x_0^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$24 - 6x_0^2 = 0$$6x_0^2 = 24$$x_0^2 = 4$$x_0 = \pm 2$.

Так как мы рассматриваем интервал $(0, 2\sqrt{3})$, нам подходит только значение $x_0 = 2$. Это значение принадлежит заданному интервалу, так как $2 < 2\sqrt{3} \approx 3.46$.

Проверим, является ли $x_0 = 2$ точкой максимума. Можно исследовать знак производной. Слева от точки $x_0=2$ (например, при $x_0=1$) $S'(1) = 24 - 6(1)^2 = 18 > 0$, функция возрастает. Справа от точки $x_0=2$ (например, при $x_0=3$) $S'(3) = 24 - 6(3)^2 = 24 - 54 = -30 < 0$, функция убывает. Следовательно, $x_0 = 2$ — точка максимума.

Теперь вычислим наибольшую площадь, подставив найденное значение $x_0 = 2$ в формулу для площади:$S_{max} = S(2) = 24(2) - 2(2)^3 = 48 - 2 \cdot 8 = 48 - 16 = 32$.

Ответ: 32.

43.18. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 0,5x^2$, $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$, а две другие — прямой $y = 9$. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть две вершины прямоугольника, лежащие на графике функции $y = 0,5x^2$, имеют координаты $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$. Из-за симметрии параболы относительно оси $Oy$ и того, что другая сторона прямоугольника параллельна оси $Ox$ (так как лежит на прямой $y=9$), прямоугольник будет симметричен относительно оси $Oy$.

Координата $y$ этих вершин равна $y = 0,5x^2$. Две другие вершины прямоугольника лежат на прямой $y=9$, поэтому их координаты будут $(x, 9)$ и $(-x, 9)$.

Определим стороны прямоугольника:

• Ширина прямоугольника равна расстоянию между точками с абсциссами $x$ и $-x$, то есть $a = x - (-x) = 2x$.
• Высота прямоугольника равна разности ординат, то есть $b = 9 - y = 9 - 0,5x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ как функция от $x$ выражается формулой:
$S(x) = a \cdot b = 2x(9 - 0,5x^2) = 18x - x^3$.

По условию, $x$ принадлежит области определения $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$. Поскольку мы выбрали $x > 0$, то $x \in (0; 3\sqrt{2}]$. Также высота прямоугольника должна быть положительной, то есть $9 - 0,5x^2 > 0$, что приводит к $x^2 < 18$, или $x < \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Таким образом, мы ищем максимальное значение функции $S(x)$ на интервале $(0; 3\sqrt{2})$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции площади $S(x)$ и приравняем ее к нулю:
$S'(x) = (18x - x^3)' = 18 - 3x^2$.

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x)=0$:
$18 - 3x^2 = 0$
$3x^2 = 18$
$x^2 = 6$
$x = \sqrt{6}$ (мы рассматриваем $x > 0$).

Точка $x = \sqrt{6}$ принадлежит интервалу $(0; 3\sqrt{2})$, так как $6 < 18 \implies \sqrt{6} < \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Проверим знак второй производной, чтобы убедиться, что это точка максимума:
$S''(x) = (18 - 3x^2)' = -6x$.
$S''(\sqrt{6}) = -6\sqrt{6} < 0$, следовательно, $x = \sqrt{6}$ является точкой максимума.

Теперь вычислим наибольшее значение площади, подставив $x = \sqrt{6}$ в выражение для $S(x)$:
$S_{max} = S(\sqrt{6}) = 18\sqrt{6} - (\sqrt{6})^3 = 18\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $12\sqrt{6}$.