Номер 43.18, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.18. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 0,5x^2$, $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$, а две другие — прямой $y = 9$. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть две вершины прямоугольника, лежащие на графике функции $y = 0,5x^2$, имеют координаты $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$. Из-за симметрии параболы относительно оси $Oy$ и того, что другая сторона прямоугольника параллельна оси $Ox$ (так как лежит на прямой $y=9$), прямоугольник будет симметричен относительно оси $Oy$.

Координата $y$ этих вершин равна $y = 0,5x^2$. Две другие вершины прямоугольника лежат на прямой $y=9$, поэтому их координаты будут $(x, 9)$ и $(-x, 9)$.

Определим стороны прямоугольника:

• Ширина прямоугольника равна расстоянию между точками с абсциссами $x$ и $-x$, то есть $a = x - (-x) = 2x$.
• Высота прямоугольника равна разности ординат, то есть $b = 9 - y = 9 - 0,5x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ как функция от $x$ выражается формулой:
$S(x) = a \cdot b = 2x(9 - 0,5x^2) = 18x - x^3$.

По условию, $x$ принадлежит области определения $D(y) = [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]$. Поскольку мы выбрали $x > 0$, то $x \in (0; 3\sqrt{2}]$. Также высота прямоугольника должна быть положительной, то есть $9 - 0,5x^2 > 0$, что приводит к $x^2 < 18$, или $x < \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Таким образом, мы ищем максимальное значение функции $S(x)$ на интервале $(0; 3\sqrt{2})$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции площади $S(x)$ и приравняем ее к нулю:
$S'(x) = (18x - x^3)' = 18 - 3x^2$.

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x)=0$:
$18 - 3x^2 = 0$
$3x^2 = 18$
$x^2 = 6$
$x = \sqrt{6}$ (мы рассматриваем $x > 0$).

Точка $x = \sqrt{6}$ принадлежит интервалу $(0; 3\sqrt{2})$, так как $6 < 18 \implies \sqrt{6} < \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Проверим знак второй производной, чтобы убедиться, что это точка максимума:
$S''(x) = (18 - 3x^2)' = -6x$.
$S''(\sqrt{6}) = -6\sqrt{6} < 0$, следовательно, $x = \sqrt{6}$ является точкой максимума.

Теперь вычислим наибольшее значение площади, подставив $x = \sqrt{6}$ в выражение для $S(x)$:
$S_{max} = S(\sqrt{6}) = 18\sqrt{6} - (\sqrt{6})^3 = 18\sqrt{6} - 6\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$.

Ответ: $12\sqrt{6}$.