Номер 43.23, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.23. На окружности радиусом $R$ отметили точку $A$. На каком расстоянии от точки $A$ надо провести хорду $BC$, параллельную касательной в точке $A$, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей?

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус. Касательная в точке A перпендикулярна радиусу OA. Поскольку хорда BC параллельна касательной, она также перпендикулярна прямой, содержащей радиус OA.
Пусть $d$ — искомое расстояние от точки A до хорды BC. Эта величина является высотой треугольника ABC, опущенной на основание BC. Обозначим точку пересечения этой высоты с хордой BC как H. Тогда $AH = d$. Прямая AH проходит через центр окружности O.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB, где H — середина хорды BC. Катет OH — это расстояние от центра окружности до хорды BC. Оно равно $|R - d|$. Гипотенуза OB равна радиусу R.
По теореме Пифагора, половина длины хорды BH равна:
$BH = \sqrt{OB^2 - OH^2} = \sqrt{R^2 - (R-d)^2} = \sqrt{R^2 - (R^2 - 2Rd + d^2)} = \sqrt{2Rd - d^2}$.
Следовательно, длина основания BC равна $2 \cdot BH = 2\sqrt{2Rd - d^2}$.
Площадь треугольника ABC как функция от $d$ равна:
$S(d) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2Rd - d^2}) \cdot d = d\sqrt{2Rd - d^2}$.
Чтобы найти максимальную площадь, необходимо найти максимум функции $S(d)$ для $d \in (0, 2R)$. Для упрощения вычислений будем максимизировать квадрат площади $S^2(d)$, так как $S(d)$ является положительной величиной.
Пусть $f(d) = S^2(d) = d^2(2Rd - d^2) = 2Rd^3 - d^4$.
Найдем производную этой функции по $d$:
$f'(d) = (2Rd^3 - d^4)' = 6Rd^2 - 4d^3$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$6Rd^2 - 4d^3 = 0$
$2d^2(3R - 2d) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $d=0$ (что соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью, то есть минимуму) и $3R - 2d = 0$.
Из второго уравнения получаем: $2d = 3R \Rightarrow d = \frac{3R}{2}$.
Чтобы убедиться, что это точка максимума, воспользуемся второй производной:
$f''(d) = (6Rd^2 - 4d^3)' = 12Rd - 12d^2$.
Подставим значение $d = \frac{3R}{2}$ в выражение для второй производной:
$f''(\frac{3R}{2}) = 12R(\frac{3R}{2}) - 12(\frac{3R}{2})^2 = 18R^2 - 12(\frac{9R^2}{4}) = 18R^2 - 27R^2 = -9R^2$.
Так как $f''(\frac{3R}{2}) < 0$, то точка $d = \frac{3R}{2}$ является точкой максимума для функции $f(d)$, а значит, и для функции $S(d)$.
Таким образом, площадь треугольника ABC будет наибольшей, когда хорду BC провести на расстоянии $\frac{3R}{2}$ от точки A.

Ответ: $\frac{3R}{2}$.