Номер 43.28, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.28. Докажите неравенство $-20 \le x^3 - 3x^2 \le 16$, где $x \in [-2; 4]$.

Для того чтобы доказать неравенство $-20 \le x^3 - 3x^2 \le 16$ на отрезке $x \in [-2; 4]$, необходимо найти наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ на этом отрезке.

1. Найдем производную функции $f(x)$

Производная функции $f(x)$ по переменной $x$ равна:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки функции

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки, которые могут быть точками экстремума:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $[-2; 4]$

Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

Точка $x_2 = 2$ также принадлежит отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом отрезке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку, либо на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$ и $x = 4$.

• При $x = -2$: $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 = -8 - 3 \cdot 4 = -8 - 12 = -20$.
• При $x = 0$: $f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0 - 0 = 0$.
• При $x = 2$: $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 3 \cdot 4 = 8 - 12 = -4$.
• При $x = 4$: $f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 = 64 - 3 \cdot 16 = 64 - 48 = 16$.

5. Определим наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Сравнивая полученные значения $f(-2) = -20$, $f(0) = 0$, $f(2) = -4$ и $f(4) = 16$, находим:

Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 4]$ равно $-20$ (достигается при $x = -2$).

Наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 4]$ равно $16$ (достигается при $x = 4$).

Таким образом, для любого $x$ из отрезка $[-2; 4]$ выполняется неравенство $-20 \le f(x) \le 16$, то есть $-20 \le x^3 - 3x^2 \le 16$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.