Номер 43.32, страница 339 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.32. Решите уравнение $\sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} = x^2 + 6x + 13.$

Для решения уравнения $ \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} = x^2+6x+13 $ воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ)
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:$ \begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} $$ \begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 1 \end{cases} $Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x \in [-7; 1] $.

2. Оценим левую часть уравнения
Рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} $ на отрезке $ [-7; 1] $ и найдем ее наибольшее значение. Для этого можно использовать производную. Найдем производную функции $ f(x) $:$ f'(x) = (\sqrt{x+7} + \sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} $. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$ \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0 $$ \frac{1}{\sqrt{x+7}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} $$ \sqrt{x+7} = \sqrt{1-x} $Возведя обе части в квадрат, получим: $ x+7 = 1-x $, откуда $ 2x = -6 $ и $ x = -3 $. Точка $ x = -3 $ принадлежит ОДЗ. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:$ f(-7) = \sqrt{-7+7} + \sqrt{1-(-7)} = \sqrt{0} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $.$ f(1) = \sqrt{1+7} + \sqrt{1-1} = \sqrt{8} + \sqrt{0} = 2\sqrt{2} $.$ f(-3) = \sqrt{-3+7} + \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2+2=4 $. Следовательно, наибольшее значение левой части уравнения на ОДЗ равно 4. Таким образом, $ \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} \le 4 $.

3. Оценим правую часть уравнения
Рассмотрим функцию $ g(x) = x^2+6x+13 $. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы:$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 $. Эта точка принадлежит ОДЗ. Найдем наименьшее значение функции $ g(x) $:$ g(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 13 = 9 - 18 + 13 = 4 $. Следовательно, наименьшее значение правой части уравнения на ОДЗ равно 4. Таким образом, $ x^2+6x+13 \ge 4 $.

4. Сделаем вывод и найдём решение
Мы установили, что для всех $ x $ из ОДЗ выполняются неравенства:$ \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} \le 4 $ и $ x^2+6x+13 \ge 4 $. Равенство в исходном уравнении возможно тогда и только тогда, когда обе его части одновременно равны 4. Это эквивалентно системе уравнений:$ \begin{cases} \sqrt{x+7} + \sqrt{1-x} = 4 \\ x^2+6x+13 = 4 \end{cases} $Из анализа функций мы знаем, что обе части принимают значение 4 при $ x = -3 $. Проверим это, решив второе уравнение:$ x^2+6x+13 = 4 $$ x^2+6x+9 = 0 $$ (x+3)^2 = 0 $$ x = -3 $. Этот корень является единственным для второго уравнения, и, как мы уже проверили, он также удовлетворяет первому уравнению. Следовательно, $ x=-3 $ — единственный корень исходного уравнения.

Ответ: -3