gdz.top
Номер 44.3, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 44. Вторая производная. Понятие выпуклости функции - номер 44.3, страница 345.
№44.2
№44.3 (с. 345)
Условие. №44.3 (с. 345)
44.3. Чему равно значение второй производной функции $y = 5\sin x - 3\cos 4x$ в точке: 1) $x = \frac{\pi}{6}$; 2) $x = -\frac{\pi}{2}$?
Решение. №44.3 (с. 345)
Чтобы найти значение второй производной функции в точке, необходимо сначала найти выражение для второй производной, а затем подставить в него значение аргумента.
Дана функция: $y = 5\sin x - 3\cos 4x$.
1. Найдём первую производную $y'$:
$y' = (5\sin x - 3\cos 4x)' = (5\sin x)' - (3\cos 4x)'$.
Применяя правила дифференцирования, получаем:
$y' = 5\cos x - 3(-\sin 4x) \cdot (4x)' = 5\cos x + 3\sin 4x \cdot 4 = 5\cos x + 12\sin 4x$.
2. Найдём вторую производную $y''$, продифференцировав первую производную:
$y'' = (y')' = (5\cos x + 12\sin 4x)' = (5\cos x)' + (12\sin 4x)'$.
Применяя правила дифференцирования, получаем:
$y'' = 5(-\sin x) + 12\cos 4x \cdot (4x)' = -5\sin x + 12\cos 4x \cdot 4 = -5\sin x + 48\cos 4x$.
Теперь вычислим значение второй производной в заданных точках.
1) $x = \frac{\pi}{6}$
Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для второй производной:
$y''(\frac{\pi}{6}) = -5\sin(\frac{\pi}{6}) + 48\cos(4 \cdot \frac{\pi}{6}) = -5\sin(\frac{\pi}{6}) + 48\cos(\frac{2\pi}{3})$.
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
$y''(\frac{\pi}{6}) = -5 \cdot \frac{1}{2} + 48 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2} - \frac{48}{2} = -\frac{53}{2} = -26,5$.
Ответ: -26,5.
2) $x = -\frac{\pi}{2}$
Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для второй производной:
$y''(-\frac{\pi}{2}) = -5\sin(-\frac{\pi}{2}) + 48\cos(4 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = -5\sin(-\frac{\pi}{2}) + 48\cos(-2\pi)$.
Используя свойства тригонометрических функций $\sin(-a) = -\sin(a)$ и $\cos(-a) = \cos(a)$, а также зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(2\pi) = 1$, получаем:
$y''(-\frac{\pi}{2}) = -5 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) + 48\cos(2\pi) = -5 \cdot (-1) + 48 \cdot 1 = 5 + 48 = 53$.
Ответ: 53.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 44.3 расположенного на странице 345 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №44.3 (с. 345), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.