Номер 44.9, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.9. Найдите точки перегиба функции $y = 3x^5 - 10x^4 + 10x^3 + 12x + 3.$

Точки перегиба функции — это точки, в которых меняется направление выпуклости графика функции. Для их нахождения необходимо найти вторую производную функции, приравнять её к нулю и определить, меняется ли знак второй производной при переходе через найденные точки.

Дана функция: $y = 3x^5 - 10x^4 + 10x^3 + 12x + 3$.

1. Найдём первую производную функции ($y'$):

$y' = (3x^5 - 10x^4 + 10x^3 + 12x + 3)' = 3 \cdot 5x^{5-1} - 10 \cdot 4x^{4-1} + 10 \cdot 3x^{3-1} + 12 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 15x^4 - 40x^3 + 30x^2 + 12$.

2. Найдём вторую производную функции ($y''$):

$y'' = (15x^4 - 40x^3 + 30x^2 + 12)' = 15 \cdot 4x^{4-1} - 40 \cdot 3x^{3-1} + 30 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 60x^3 - 120x^2 + 60x$.

3. Приравняем вторую производную к нулю для нахождения стационарных точек второй производной (потенциальных точек перегиба):

$y'' = 0 \implies 60x^3 - 120x^2 + 60x = 0$.

Вынесем общий множитель $60x$ за скобки:

$60x(x^2 - 2x + 1) = 0$.

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности:

$60x(x - 1)^2 = 0$.

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знак $y'' = 60x(x-1)^2$ зависит от знака $x$, так как множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен.

• На интервале $(-\infty; 0)$, выберем $x = -1$: $y''(-1) = 60(-1)(-1-1)^2 = -60 \cdot 4 = -240 < 0$. Функция выпукла вверх.
• На интервале $(0; 1)$, выберем $x = 0.5$: $y''(0.5) = 60(0.5)(0.5-1)^2 = 30 \cdot (-0.5)^2 = 30 \cdot 0.25 = 7.5 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).
• На интервале $(1; +\infty)$, выберем $x = 2$: $y''(2) = 60(2)(2-1)^2 = 120 \cdot 1^2 = 120 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).

Знак второй производной меняется при переходе через точку $x=0$ (с «−» на «+»). Следовательно, $x=0$ является абсциссой точки перегиба.

При переходе через точку $x=1$ знак второй производной не меняется (остается «+»). Следовательно, в этой точке перегиба нет.

5. Найдём ординату точки перегиба, подставив значение $x=0$ в исходное уравнение функции:

$y(0) = 3(0)^5 - 10(0)^4 + 10(0)^3 + 12(0) + 3 = 3$.

Таким образом, единственная точка перегиба функции имеет координаты $(0; 3)$.

Ответ: $(0; 3)$.