Номер 44.14, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.14. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$;

2) $y = \frac{x}{(x + 1)^2}$.

1) $y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба функции необходимо исследовать знак её второй производной.

1. Найдём область определения функции.
Знаменатель $1 + x^2$ никогда не равен нулю. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём первую производную $y'$.
Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)' = \frac{(1 - x^2)'(1 + x^2) - (1 - x^2)(1 + x^2)'}{(1 + x^2)^2} = \frac{-2x(1 + x^2) - (1 - x^2)(2x)}{(1 + x^2)^2}$
$y' = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1 + x^2)^2} = \frac{-4x}{(1 + x^2)^2}$

3. Найдём вторую производную $y''$.
$y'' = \left(\frac{-4x}{(1 + x^2)^2}\right)' = \frac{(-4x)'(1 + x^2)^2 - (-4x)((1 + x^2)^2)'}{((1 + x^2)^2)^2}$
$y'' = \frac{-4(1 + x^2)^2 + 4x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} = \frac{-4(1 + x^2) + 16x^2}{(1 + x^2)^3}$
$y'' = \frac{-4 - 4x^2 + 16x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{12x^2 - 4}{(1 + x^2)^3} = \frac{4(3x^2 - 1)}{(1 + x^2)^3}$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Знаменатель $(1 + x^2)^3$ всегда положителен, поэтому вторая производная существует на всей области определения.
Приравняем числитель к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:
$4(3x^2 - 1) = 0 \implies 3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. Определим знаки второй производной на интервалах.
Точки $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.
Знак $y''$ зависит только от знака выражения $3x^2 - 1$.
- На интервале $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, например, при $x=-1$: $y'' \sim 3(-1)^2 - 1 = 2 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).
- На интервале $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, например, при $x=0$: $y'' \sim 3(0)^2 - 1 = -1 < 0$. Функция выпукла вверх.
- На интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, например, при $x=1$: $y'' \sim 3(1)^2 - 1 = 2 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).

6. Найдём точки перегиба.
В точках $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдём ординаты этих точек:
$y\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1 - (\pm\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{1 + (\pm\frac{\sqrt{3}}{3})^2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}$.
Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, выпукла вниз (вогнута) на промежутках $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$. Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1}{2})$.

2) $y = \frac{x}{(x + 1)^2}$

1. Найдём область определения функции.
Знаменатель $(x + 1)^2$ равен нулю при $x = -1$. Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдём первую производную $y'$.
$y' = \left(\frac{x}{(x + 1)^2}\right)' = \frac{(x)'(x + 1)^2 - x((x + 1)^2)'}{((x + 1)^2)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1)^2 - x \cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4}$
$y' = \frac{(x + 1) - 2x}{(x + 1)^3} = \frac{1 - x}{(x + 1)^3}$

3. Найдём вторую производную $y''$.
$y'' = \left(\frac{1 - x}{(x + 1)^3}\right)' = \frac{(1 - x)'(x + 1)^3 - (1 - x)((x + 1)^3)'}{((x + 1)^3)^2}$
$y'' = \frac{-1 \cdot (x + 1)^3 - (1 - x) \cdot 3(x + 1)^2}{(x + 1)^6} = \frac{-(x + 1) - 3(1 - x)}{(x + 1)^4}$
$y'' = \frac{-x - 1 - 3 + 3x}{(x + 1)^4} = \frac{2x - 4}{(x + 1)^4}$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Вторая производная не существует при $x = -1$, но эта точка не входит в область определения функции.
Приравняем числитель к нулю:
$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

5. Определим знаки второй производной на интервалах.
Точка $x=2$ и точка разрыва $x=-1$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Знаменатель $(x+1)^4$ всегда положителен на области определения. Знак $y''$ зависит от знака числителя $2x - 4$.
- На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; 2)$ выражение $2x-4$ отрицательно (например, при $x=-2$ и $x=0$). Следовательно, $y'' < 0$ и функция выпукла вверх.
- На интервале $(2; +\infty)$ выражение $2x-4$ положительно (например, при $x=3$). Следовательно, $y'' > 0$ и функция выпукла вниз (вогнута).

6. Найдём точку перегиба.
В точке $x = 2$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсцисса точки перегиба. Найдём ординату этой точки:
$y(2) = \frac{2}{(2 + 1)^2} = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9}$.
Точка перегиба: $(2; \frac{2}{9})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 2)$, выпукла вниз (вогнута) на промежутке $(2; +\infty)$. Точка перегиба: $(2; \frac{2}{9})$.