Номер 44.10, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.10. Найдите точки перегиба функции $y = 3x^5 + 10x^4 + 10x^3 - 5x - 4.$

Для нахождения точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует и при переходе через которые она меняет знак, являются точками перегиба графика функции.

Заданная функция: $y = 3x^5 + 10x^4 + 10x^3 - 5x - 4$.

1. Найдем первую производную функции $y'$:
$y' = (3x^5 + 10x^4 + 10x^3 - 5x - 4)' = 3 \cdot 5x^4 + 10 \cdot 4x^3 + 10 \cdot 3x^2 - 5 = 15x^4 + 40x^3 + 30x^2 - 5$.

2. Найдем вторую производную функции $y''$:
$y'' = (15x^4 + 40x^3 + 30x^2 - 5)' = 15 \cdot 4x^3 + 40 \cdot 3x^2 + 30 \cdot 2x = 60x^3 + 120x^2 + 60x$.

3. Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки, которые могут быть точками перегиба:
$60x^3 + 120x^2 + 60x = 0$
Вынесем общий множитель $60x$ за скобки:
$60x(x^2 + 2x + 1) = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Тогда уравнение примет вид:
$60x(x+1)^2 = 0$
Решениями этого уравнения являются:
$x_1 = 0$
$x_2 = -1$

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точки $x=0$ и $x=-1$ разбивают числовую прямую: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Знак $y'' = 60x(x+1)^2$ зависит от знака множителя $x$, так как множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен.

• На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$. $y''(-2) = 60(-2)(-2+1)^2 = -120 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$. $y''(-0.5) = 60(-0.5)(-0.5+1)^2 = -30(0.25) = -7.5 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$. $y''(1) = 60(1)(1+1)^2 = 240 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

При переходе через точку $x=-1$ вторая производная не меняет знак (остается отрицательной). Следовательно, $x=-1$ не является точкой перегиба.

При переходе через точку $x=0$ вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x=0$ является точкой перегиба.

Для полноты найдем ординату точки перегиба, подставив $x=0$ в исходное уравнение функции:
$y(0) = 3(0)^5 + 10(0)^4 + 10(0)^3 - 5(0) - 4 = -4$.
Координаты точки перегиба: $(0; -4)$.

Ответ: $x=0$.