Страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = x^2 - 2x + 5$;

2) $y = \frac{1}{x}$;

3) $y = \sqrt{x}$;

4) $y = \cos x$;

5) $y = (2x - 1)^5$;

6) $y = \cos^2 x$;

7) $y = \sin \frac{x}{4}$;

8) $y = x \sin x$.

1) $y = x^2 - 2x + 5$

Сначала найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и суммы функций.

$y' = (x^2 - 2x + 5)' = (x^2)' - (2x)' + (5)' = 2x - 2$.

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав первую производную.

$y'' = (2x - 2)' = (2x)' - (2)' = 2$.

Ответ: $2$

2) $y = \frac{1}{x}$

Представим функцию в виде $y = x^{-1}$ и найдем первую производную по правилу дифференцирования степенной функции.

$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (-x^{-2})' = -(-2) \cdot x^{-2-1} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.

Ответ: $\frac{2}{x^3}$

3) $y = \sqrt{x}$

Представим функцию в виде $y = x^{1/2}$ и найдем первую производную.

$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (\frac{1}{2}x^{-1/2})' = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

Ответ: $-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

4) $y = \cos x$

Находим первую производную, зная, что производная косинуса равна минус синусу.

$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь находим вторую производную.

$y'' = (-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$.

Ответ: $-\cos x$

5) $y = (2x - 1)^5$

Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = ((2x - 1)^5)' = 5(2x - 1)^{5-1} \cdot (2x - 1)' = 5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (10(2x - 1)^4)' = 10 \cdot 4(2x - 1)^{4-1} \cdot (2x - 1)' = 40(2x - 1)^3 \cdot 2 = 80(2x - 1)^3$.

Ответ: $80(2x-1)^3$

6) $y = \cos^2 x$

Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — степенная, внутренняя — косинус.

$y' = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, упростим выражение: $y' = -\sin(2x)$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (-\sin(2x))' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -\cos(2x) \cdot 2 = -2\cos(2x)$.

Ответ: $-2\cos(2x)$

7) $y = \sin\frac{x}{4}$

Используем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = (\sin\frac{x}{4})' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot (\frac{x}{4})' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4})$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4}))' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin(\frac{x}{4})) \cdot (\frac{x}{4})' = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{16}\sin(\frac{x}{4})$.

Ответ: $-\frac{1}{16}\sin\frac{x}{4}$

8) $y = x \sin x$

Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = (x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (\sin x + x\cos x)' = (\sin x)' + (x\cos x)'$.

Используя правило дифференцирования суммы и произведения, получаем:

$y'' = \cos x + ((x)' \cos x + x (\cos x)') = \cos x + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$.

Ответ: $2\cos x - x\sin x$

44.2. Найдите вторую производную функции:

1) $y = x^4$;

2) $y = 3 - 5x + x^3$;

3) $y = \frac{1}{x-1}$;

4) $y = \sqrt[3]{x}$;

5) $y = (1 - 3x)^3$;

6) $y = \cos 2x$;

7) $y = \sin^2 x$;

8) $y = x \cos x$.

1) Дана функция $y = x^4$. Чтобы найти вторую производную, сначала найдем первую производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Теперь найдем производную от полученной функции (первой производной), чтобы получить вторую производную:
$y'' = (4x^3)' = 4 \cdot (x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$.
Ответ: $12x^2$.

2) Дана функция $y = 3 - 5x + x^3$. Дифференцируем функцию почленно, чтобы найти первую производную.
$y' = (3 - 5x + x^3)' = (3)' - (5x)' + (x^3)' = 0 - 5 \cdot 1 + 3x^2 = -5 + 3x^2$.
Теперь дифференцируем первую производную, чтобы найти вторую:
$y'' = (-5 + 3x^2)' = (-5)' + (3x^2)' = 0 + 3 \cdot 2x = 6x$.
Ответ: $6x$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{x-1}$. Представим ее в виде степенной функции: $y = (x-1)^{-1}$.
Найдем первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:
$y' = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -(x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}$.
Теперь найдем вторую производную:
$y'' = (-(x-1)^{-2})' = -(-2) \cdot (x-1)^{-2-1} \cdot (x-1)' = 2(x-1)^{-3} \cdot 1 = \frac{2}{(x-1)^3}$.
Ответ: $\frac{2}{(x-1)^3}$.

4) Дана функция $y = \sqrt[3]{x}$. Представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/3}$.
Найдем первую производную по правилу дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Теперь найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{9}x^{-5/3}$.
Результат можно также записать в виде: $y'' = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$.
Ответ: $-\frac{2}{9}x^{-5/3}$.

5) Дана функция $y = (1 - 3x)^3$. Используем цепное правило для нахождения первой производной.
$y' = ((1-3x)^3)' = 3(1-3x)^{3-1} \cdot (1-3x)' = 3(1-3x)^2 \cdot (-3) = -9(1-3x)^2$.
Теперь найдем вторую производную, снова применив цепное правило:
$y'' = (-9(1-3x)^2)' = -9 \cdot 2(1-3x)^{2-1} \cdot (1-3x)' = -18(1-3x) \cdot (-3) = 54(1-3x)$.
Ответ: $54(1-3x)$.

6) Дана функция $y = \cos(2x)$. Используем цепное правило для нахождения первой производной, где $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.
$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.
Найдем вторую производную, где $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$:
$y'' = (-2\sin(2x))' = -2 \cdot (\cos(2x) \cdot (2x)') = -2 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -4\cos(2x)$.
Ответ: $-4\cos(2x)$.

7) Дана функция $y = \sin^2 x$, что то же самое, что и $y = (\sin x)^2$.
Найдем первую производную по цепному правилу:
$y' = ((\sin x)^2)' = 2(\sin x)^{2-1} \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, упростим первую производную: $y' = \sin(2x)$.
Теперь найдем вторую производную:
$y'' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.
Ответ: $2\cos(2x)$.

8) Дана функция $y = x \cos x$. Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
$y' = (x)'\cos x + x(\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x\sin x$.
Теперь найдем вторую производную, дифференцируя полученное выражение почленно. Для второго слагаемого снова применим правило произведения:
$y'' = (\cos x - x\sin x)' = (\cos x)' - (x\sin x)' = -\sin x - ((x)'\sin x + x(\sin x)') = -\sin x - (1 \cdot \sin x + x \cos x) = -\sin x - \sin x - x\cos x = -2\sin x - x\cos x$.
Ответ: $-2\sin x - x\cos x$.

44.3. Чему равно значение второй производной функции $y = 5\sin x - 3\cos 4x$ в точке: 1) $x = \frac{\pi}{6}$; 2) $x = -\frac{\pi}{2}$?

Чтобы найти значение второй производной функции в точке, необходимо сначала найти выражение для второй производной, а затем подставить в него значение аргумента.

Дана функция: $y = 5\sin x - 3\cos 4x$.

1. Найдём первую производную $y'$:

$y' = (5\sin x - 3\cos 4x)' = (5\sin x)' - (3\cos 4x)'$.

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$y' = 5\cos x - 3(-\sin 4x) \cdot (4x)' = 5\cos x + 3\sin 4x \cdot 4 = 5\cos x + 12\sin 4x$.

2. Найдём вторую производную $y''$, продифференцировав первую производную:

$y'' = (y')' = (5\cos x + 12\sin 4x)' = (5\cos x)' + (12\sin 4x)'$.

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$y'' = 5(-\sin x) + 12\cos 4x \cdot (4x)' = -5\sin x + 12\cos 4x \cdot 4 = -5\sin x + 48\cos 4x$.

Теперь вычислим значение второй производной в заданных точках.

1) $x = \frac{\pi}{6}$

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для второй производной:

$y''(\frac{\pi}{6}) = -5\sin(\frac{\pi}{6}) + 48\cos(4 \cdot \frac{\pi}{6}) = -5\sin(\frac{\pi}{6}) + 48\cos(\frac{2\pi}{3})$.

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$y''(\frac{\pi}{6}) = -5 \cdot \frac{1}{2} + 48 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{2} - \frac{48}{2} = -\frac{53}{2} = -26,5$.

Ответ: -26,5.

2) $x = -\frac{\pi}{2}$

Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для второй производной:

$y''(-\frac{\pi}{2}) = -5\sin(-\frac{\pi}{2}) + 48\cos(4 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = -5\sin(-\frac{\pi}{2}) + 48\cos(-2\pi)$.

Используя свойства тригонометрических функций $\sin(-a) = -\sin(a)$ и $\cos(-a) = \cos(a)$, а также зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(2\pi) = 1$, получаем:

$y''(-\frac{\pi}{2}) = -5 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{2})) + 48\cos(2\pi) = -5 \cdot (-1) + 48 \cdot 1 = 5 + 48 = 53$.

Ответ: 53.

44.4. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^3 - 5t^2 + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите её ускорение в момент времени $t_0 = 2 с$.

Закон движения материальной точки задан уравнением $s(t) = 2t^3 - 5t^2 + 4$, где $s$ - перемещение в метрах, а $t$ - время в секундах.

Физический смысл производной заключается в том, что скорость является первой производной от перемещения по времени, а ускорение — второй производной от перемещения по времени (или первой производной от скорости).

1. Найдем функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от функции перемещения $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (2t^3 - 5t^2 + 4)' = 2 \cdot 3t^2 - 5 \cdot 2t + 0 = 6t^2 - 10t$.

2. Найдем функцию ускорения $a(t)$, взяв производную от функции скорости $v(t)$:
$a(t) = v'(t) = (6t^2 - 10t)' = 6 \cdot 2t - 10 = 12t - 10$.

3. Вычислим ускорение в момент времени $t_0 = 2$ с, подставив значение $t=2$ в функцию ускорения:
$a(2) = 12 \cdot 2 - 10 = 24 - 10 = 14$.

Единицей измерения ускорения в данном случае является м/с².

Ответ: 14 м/с².

44.5. Одно тело движется по координатной прямой по закону $s_1(t) = t^3 - t^2 + 3t - 2$, а другое — по закону $s_2(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 5t - 8$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите ускорение каждого тела в момент времени, когда их скорости равны.

Для решения задачи воспользуемся физическим смыслом производной: скорость $v(t)$ есть первая производная от функции перемещения $s(t)$, а ускорение $a(t)$ — вторая производная от перемещения или первая производная от скорости.

Законы движения двух тел заданы уравнениями:

$s_1(t) = t^3 - t^2 + 3t - 2$

$s_2(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 5t - 8$

1. Найдем функции скорости для каждого тела.

Для этого найдем первую производную от функций перемещения:

Скорость первого тела:

$v_1(t) = s_1'(t) = (t^3 - t^2 + 3t - 2)' = 3t^2 - 2t + 3$

Скорость второго тела:

$v_2(t) = s_2'(t) = (\frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 5t - 8)' = \frac{3t^2}{3} + \frac{2t}{2} + 5 = t^2 + t + 5$

2. Найдем момент времени, когда скорости тел равны.

Приравняем выражения для скоростей $v_1(t)$ и $v_2(t)$:

$3t^2 - 2t + 3 = t^2 + t + 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(3t^2 - t^2) + (-2t - t) + (3 - 5) = 0$

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Поскольку время ($t$) не может быть отрицательной величиной в данном контексте, единственным физически осмысленным решением является $t = 2$ с.

3. Найдем функции ускорения для каждого тела.

Для этого найдем первую производную от функций скорости:

Ускорение первого тела:

$a_1(t) = v_1'(t) = (3t^2 - 2t + 3)' = 6t - 2$

Ускорение второго тела:

$a_2(t) = v_2'(t) = (t^2 + t + 5)' = 2t + 1$

4. Вычислим ускорение каждого тела в момент времени $t = 2$ с.

Подставим значение $t = 2$ в найденные функции ускорения:

Ускорение первого тела:

$a_1(2) = 6 \cdot 2 - 2 = 12 - 2 = 10$ $м/с^2$

Ускорение второго тела:

$a_2(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$ $м/с^2$

Ответ: в момент времени, когда скорости тел равны, ускорение первого тела составляет $10$ $м/с^2$, а ускорение второго тела — $5$ $м/с^2$.

44.6. Тело массой 5 кг движется по координатной прямой по закону

$s(t) = t^3 - 6t + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите силу $F(t) = ma(t)$, действующую на тело через 3 с после начала движения.

Согласно второму закону Ньютона, сила $F(t)$, действующая на тело, равна произведению массы тела $m$ на его ускорение $a(t)$: $F(t) = ma(t)$.

Масса тела дана в условии: $m = 5$ кг.

Ускорение $a(t)$ является второй производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$. Найдем сначала первую производную (скорость $v(t)$), а затем вторую (ускорение $a(t)$).

Закон движения тела: $s(t) = t^3 - 6t + 4$.

1. Находим скорость $v(t)$ как первую производную от перемещения:

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 6t + 4)' = 3t^2 - 6$

2. Находим ускорение $a(t)$ как первую производную от скорости:

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 6)' = 6t$

3. Теперь нужно найти силу, действующую на тело через 3 секунды после начала движения, то есть при $t = 3$ с. Сначала вычислим ускорение в этот момент времени:

$a(3) = 6 \cdot 3 = 18$ м/с²

4. Наконец, вычислим силу $F$ в момент времени $t = 3$ с, используя массу $m = 5$ кг:

$F(3) = m \cdot a(3) = 5 \cdot 18 = 90$ Н

Ответ: 90 Н.

44.7. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^3 - 3x + 2;$

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1.$

1) $y = x^3 - 3x + 2$

Для нахождения промежутков выпуклости/вогнутости и точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции:

$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$

2. Находим вторую производную:

$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$

3. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Эти точки являются возможными точками перегиба.

$y'' = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x = 0$

4. Определяем знаки второй производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает область определения, то есть на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$, имеем $y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. Следовательно, на этом промежутке график функции выпуклый вверх.
• На интервале $(0; +\infty)$, например, при $x = 1$, имеем $y''(1) = 6(1) = 6 > 0$. Следовательно, на этом промежутке график функции вогнутый (выпуклый вниз).

5. Поскольку при переходе через точку $x = 0$ вторая производная меняет знак, то $x = 0$ является абсциссой точки перегиба. Найдем ординату этой точки, подставив значение $x=0$ в исходную функцию:

$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$

Таким образом, точка перегиба имеет координаты $(0; 2)$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty; 0)$, вогнута на промежутке $(0; +\infty)$; точка перегиба — $(0; 2)$.

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$

Действуем по тому же алгоритму. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции:

$y' = (x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1)' = 4x^3 - 24x^2 + 36x - 1$

2. Находим вторую производную:

$y'' = (4x^3 - 24x^2 + 36x - 1)' = 12x^2 - 48x + 36$

3. Находим возможные точки перегиба, решая уравнение $y'' = 0$:

$12x^2 - 48x + 36 = 0$

Разделим обе части на 12:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

4. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определяем знак второй производной на каждом из них. График $y'' = 12(x-1)(x-3)$ — парабола с ветвями, направленными вверх.

• На интервале $(-\infty; 1)$, например, при $x=0$, имеем $y''(0) = 12(0-1)(0-3) = 36 > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).
• На интервале $(1; 3)$, например, при $x=2$, имеем $y''(2) = 12(2-1)(2-3) = -12 < 0$. График функции выпуклый вверх.
• На интервале $(3; +\infty)$, например, при $x=4$, имеем $y''(4) = 12(4-1)(4-3) = 36 > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).

5. Поскольку в точках $x = 1$ и $x = 3$ вторая производная меняет знак, обе точки являются точками перегиба. Найдем их ординаты:

$y(1) = 1^4 - 8 \cdot 1^3 + 18 \cdot 1^2 - 1 + 1 = 1 - 8 + 18 = 11$

$y(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^3 + 18 \cdot 3^2 - 3 + 1 = 81 - 8 \cdot 27 + 18 \cdot 9 - 2 = 81 - 216 + 162 - 2 = 25$

Точки перегиба: $(1; 11)$ и $(3; 25)$.

Ответ: функция вогнута на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$, выпукла вверх на промежутке $(1; 3)$; точки перегиба — $(1; 11)$ и $(3; 25)$.

44.8. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y=x^3-2x^2+x-2;$

2) $y=x^4-6x^3+12x^2-3x+4.$

1) $y = x^3 - 2x^2 + x - 2$

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, необходимо исследовать знак второй производной функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Найдём первую и вторую производные функции:

$y' = (x^3 - 2x^2 + x - 2)' = 3x^2 - 4x + 1$

$y'' = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$

2. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю. Эти точки являются потенциальными точками перегиба.

$y'' = 0 \implies 6x - 4 = 0 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

3. Определим знак второй производной на интервалах, на которые точка $x = \frac{2}{3}$ делит числовую ось: $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

• При $x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$), $y''(0) = 6(0) - 4 = -4 < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$ функция выпукла вверх (вогнута).
• При $x > \frac{2}{3}$ (например, $x=1$), $y''(1) = 6(1) - 4 = 2 > 0$. Следовательно, на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$ функция выпукла вниз (выпукла).

4. Так как в точке $x = \frac{2}{3}$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. Найдём ординату этой точки:

$y(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 2(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{27} - 2 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{18}{27} - \frac{54}{27} = \frac{8 - 24 + 18 - 54}{27} = -\frac{52}{27}$.

Точка перегиба: $(\frac{2}{3}; -\frac{52}{27})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$, выпукла вниз на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$, точка перегиба $(\frac{2}{3}; -\frac{52}{27})$.

2) $y = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 3x + 4$

Аналогично, исследуем знак второй производной. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Найдём первую и вторую производные:

$y' = (x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 3x + 4)' = 4x^3 - 18x^2 + 24x - 3$

$y'' = (4x^3 - 18x^2 + 24x - 3)' = 12x^2 - 36x + 24$

2. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю:

$12x^2 - 36x + 24 = 0$

Разделим уравнение на 12:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (например, по теореме Виета) $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

3. Определим знак второй производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. График $y'' = 12x^2 - 36x + 24$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось абсцисс в точках 1 и 2.

• При $x \in (-\infty; 1)$ (например, $x=0$), $y''(0) = 24 > 0$. Функция выпукла вниз.
• При $x \in (1; 2)$ (например, $x=1.5$), $y''(1.5) = 12(1.5^2 - 3 \cdot 1.5 + 2) = 12(2.25 - 4.5 + 2) = 12(-0.25) = -3 < 0$. Функция выпукла вверх.
• При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$), $y''(3) = 12(3^2 - 3 \cdot 3 + 2) = 12(9 - 9 + 2) = 24 > 0$. Функция выпукла вниз.

4. В точках $x=1$ и $x=2$ знак второй производной меняется, следовательно, это точки перегиба. Найдём их ординаты:

$y(1) = 1^4 - 6(1)^3 + 12(1)^2 - 3(1) + 4 = 1 - 6 + 12 - 3 + 4 = 8$.

$y(2) = 2^4 - 6(2)^3 + 12(2)^2 - 3(2) + 4 = 16 - 6 \cdot 8 + 12 \cdot 4 - 6 + 4 = 16 - 48 + 48 - 6 + 4 = 14$.

Точки перегиба: $(1; 8)$ и $(2; 14)$.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; +\infty)$, выпукла вверх на промежутке $[1; 2]$, точки перегиба $(1; 8)$ и $(2; 14)$.

44.9. Найдите точки перегиба функции $y = 3x^5 - 10x^4 + 10x^3 + 12x + 3.$

Точки перегиба функции — это точки, в которых меняется направление выпуклости графика функции. Для их нахождения необходимо найти вторую производную функции, приравнять её к нулю и определить, меняется ли знак второй производной при переходе через найденные точки.

Дана функция: $y = 3x^5 - 10x^4 + 10x^3 + 12x + 3$.

1. Найдём первую производную функции ($y'$):

$y' = (3x^5 - 10x^4 + 10x^3 + 12x + 3)' = 3 \cdot 5x^{5-1} - 10 \cdot 4x^{4-1} + 10 \cdot 3x^{3-1} + 12 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 15x^4 - 40x^3 + 30x^2 + 12$.

2. Найдём вторую производную функции ($y''$):

$y'' = (15x^4 - 40x^3 + 30x^2 + 12)' = 15 \cdot 4x^{4-1} - 40 \cdot 3x^{3-1} + 30 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 60x^3 - 120x^2 + 60x$.

3. Приравняем вторую производную к нулю для нахождения стационарных точек второй производной (потенциальных точек перегиба):

$y'' = 0 \implies 60x^3 - 120x^2 + 60x = 0$.

Вынесем общий множитель $60x$ за скобки:

$60x(x^2 - 2x + 1) = 0$.

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности:

$60x(x - 1)^2 = 0$.

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знак $y'' = 60x(x-1)^2$ зависит от знака $x$, так как множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен.

• На интервале $(-\infty; 0)$, выберем $x = -1$: $y''(-1) = 60(-1)(-1-1)^2 = -60 \cdot 4 = -240 < 0$. Функция выпукла вверх.
• На интервале $(0; 1)$, выберем $x = 0.5$: $y''(0.5) = 60(0.5)(0.5-1)^2 = 30 \cdot (-0.5)^2 = 30 \cdot 0.25 = 7.5 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).
• На интервале $(1; +\infty)$, выберем $x = 2$: $y''(2) = 60(2)(2-1)^2 = 120 \cdot 1^2 = 120 > 0$. Функция выпукла вниз (вогнута).

Знак второй производной меняется при переходе через точку $x=0$ (с «−» на «+»). Следовательно, $x=0$ является абсциссой точки перегиба.

При переходе через точку $x=1$ знак второй производной не меняется (остается «+»). Следовательно, в этой точке перегиба нет.

5. Найдём ординату точки перегиба, подставив значение $x=0$ в исходное уравнение функции:

$y(0) = 3(0)^5 - 10(0)^4 + 10(0)^3 + 12(0) + 3 = 3$.

Таким образом, единственная точка перегиба функции имеет координаты $(0; 3)$.

Ответ: $(0; 3)$.

44.10. Найдите точки перегиба функции $y = 3x^5 + 10x^4 + 10x^3 - 5x - 4.$

Для нахождения точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует и при переходе через которые она меняет знак, являются точками перегиба графика функции.

Заданная функция: $y = 3x^5 + 10x^4 + 10x^3 - 5x - 4$.

1. Найдем первую производную функции $y'$:
$y' = (3x^5 + 10x^4 + 10x^3 - 5x - 4)' = 3 \cdot 5x^4 + 10 \cdot 4x^3 + 10 \cdot 3x^2 - 5 = 15x^4 + 40x^3 + 30x^2 - 5$.

2. Найдем вторую производную функции $y''$:
$y'' = (15x^4 + 40x^3 + 30x^2 - 5)' = 15 \cdot 4x^3 + 40 \cdot 3x^2 + 30 \cdot 2x = 60x^3 + 120x^2 + 60x$.

3. Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки, которые могут быть точками перегиба:
$60x^3 + 120x^2 + 60x = 0$
Вынесем общий множитель $60x$ за скобки:
$60x(x^2 + 2x + 1) = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Тогда уравнение примет вид:
$60x(x+1)^2 = 0$
Решениями этого уравнения являются:
$x_1 = 0$
$x_2 = -1$

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точки $x=0$ и $x=-1$ разбивают числовую прямую: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Знак $y'' = 60x(x+1)^2$ зависит от знака множителя $x$, так как множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен.

• На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$. $y''(-2) = 60(-2)(-2+1)^2 = -120 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$. $y''(-0.5) = 60(-0.5)(-0.5+1)^2 = -30(0.25) = -7.5 < 0$. График функции выпуклый вверх (вогнутый).
• На интервале $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$. $y''(1) = 60(1)(1+1)^2 = 240 > 0$. График функции выпуклый вниз (выпуклый).

При переходе через точку $x=-1$ вторая производная не меняет знак (остается отрицательной). Следовательно, $x=-1$ не является точкой перегиба.

При переходе через точку $x=0$ вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $x=0$ является точкой перегиба.

Для полноты найдем ординату точки перегиба, подставив $x=0$ в исходное уравнение функции:
$y(0) = 3(0)^5 + 10(0)^4 + 10(0)^3 - 5(0) - 4 = -4$.
Координаты точки перегиба: $(0; -4)$.

Ответ: $x=0$.

44.11. Докажите, что функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $R$.

Для того чтобы доказать, что функция является выпуклой вниз на всей числовой прямой $R$, необходимо и достаточно показать, что ее вторая производная неотрицательна ($f''(x) \ge 0$) для всех $x \in R$.

Заданная функция: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$.

Найдем первую производную функции $f(x)$:$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7)' = 4x^3 - 12x^2 + 24x - 11$.

Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$, продифференцировав первую производную $f'(x)$:$f''(x) = (4x^3 - 12x^2 + 24x - 11)' = 12x^2 - 24x + 24$.

Далее необходимо исследовать знак второй производной $f''(x)$ на всей области определения.$f''(x) = 12x^2 - 24x + 24$.

Вынесем общий множитель 12 за скобки:$f''(x) = 12(x^2 - 2x + 2)$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 2$. Его знак можно определить несколькими способами.

Способ 1: Анализ дискриминанта.Графиком функции $y = x^2 - 2x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 - 2x + 2 = 0$:$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), парабола не пересекает ось абсцисс. Так как ветви параболы направлены вверх, это означает, что квадратный трехчлен принимает только положительные значения при всех $x \in R$.

Способ 2: Выделение полного квадрата.$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$. Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, $(x-1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Это показывает, что минимальное значение выражения $x^2 - 2x + 2$ равно 1, и оно всегда положительно.

Поскольку $x^2 - 2x + 2 > 0$ для всех $x \in R$, то и вторая производная $f''(x) = 12(x^2 - 2x + 2)$ будет всегда положительной, так как является произведением положительного числа 12 на положительное выражение. Более того, $f''(x) = 12((x - 1)^2 + 1) \ge 12 \cdot 1 = 12$.

Таким образом, мы доказали, что $f''(x) > 0$ для всех $x \in R$. Это удовлетворяет условию выпуклости вниз ($f''(x) \ge 0$).

Ответ: Поскольку вторая производная функции $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24$ положительна при всех действительных значениях $x$, функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $R$.

44.12. Докажите, что функция $f(x) = \sin^2 x - 2x^2$ является выпуклой вверх на $R$.

Для доказательства того, что функция $f(x) = \sin^2 x - 2x^2$ является выпуклой вверх на $R$, необходимо найти ее вторую производную и определить ее знак. Функция является выпуклой вверх на некотором множестве, если ее вторая производная на этом множестве неположительна ($f''(x) \le 0$).

1. Найдем первую производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу синуса двойного угла, получаем:

$f'(x) = (\sin^2 x - 2x^2)' = (\sin^2 x)' - (2x^2)' = 2\sin x \cos x - 4x = \sin(2x) - 4x$.

2. Найдем вторую производную, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = (\sin(2x) - 4x)' = (\sin(2x))' - (4x)' = \cos(2x) \cdot 2 - 4 = 2\cos(2x) - 4$.

3. Проанализируем знак второй производной $f''(x)$ на всей числовой прямой $R$.

Известно, что область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos(2x) \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos(2x) \le 2$

Теперь вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-2 - 4 \le 2\cos(2x) - 4 \le 2 - 4$

$-6 \le 2\cos(2x) - 4 \le -2$

Таким образом, мы получили, что $f''(x)$ принимает значения в отрезке $[-6, -2]$. Это означает, что для любого $x \in R$ вторая производная $f''(x)$ является отрицательной, так как ее максимальное значение равно -2.

$f''(x) \le -2 < 0$

Поскольку вторая производная функции отрицательна для всех $x \in R$, функция $f(x) = \sin^2 x - 2x^2$ является выпуклой вверх на всей числовой прямой $R$, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как вторая производная функции $f''(x) = 2\cos(2x) - 4$ является отрицательной ($f''(x) \le -2$) для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ является выпуклой вверх на $R$.