Номер 44.5, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.5. Одно тело движется по координатной прямой по закону $s_1(t) = t^3 - t^2 + 3t - 2$, а другое — по закону $s_2(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 5t - 8$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите ускорение каждого тела в момент времени, когда их скорости равны.

Для решения задачи воспользуемся физическим смыслом производной: скорость $v(t)$ есть первая производная от функции перемещения $s(t)$, а ускорение $a(t)$ — вторая производная от перемещения или первая производная от скорости.

Законы движения двух тел заданы уравнениями:

$s_1(t) = t^3 - t^2 + 3t - 2$

$s_2(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 5t - 8$

1. Найдем функции скорости для каждого тела.

Для этого найдем первую производную от функций перемещения:

Скорость первого тела:

$v_1(t) = s_1'(t) = (t^3 - t^2 + 3t - 2)' = 3t^2 - 2t + 3$

Скорость второго тела:

$v_2(t) = s_2'(t) = (\frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + 5t - 8)' = \frac{3t^2}{3} + \frac{2t}{2} + 5 = t^2 + t + 5$

2. Найдем момент времени, когда скорости тел равны.

Приравняем выражения для скоростей $v_1(t)$ и $v_2(t)$:

$3t^2 - 2t + 3 = t^2 + t + 5$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(3t^2 - t^2) + (-2t - t) + (3 - 5) = 0$

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Поскольку время ($t$) не может быть отрицательной величиной в данном контексте, единственным физически осмысленным решением является $t = 2$ с.

3. Найдем функции ускорения для каждого тела.

Для этого найдем первую производную от функций скорости:

Ускорение первого тела:

$a_1(t) = v_1'(t) = (3t^2 - 2t + 3)' = 6t - 2$

Ускорение второго тела:

$a_2(t) = v_2'(t) = (t^2 + t + 5)' = 2t + 1$

4. Вычислим ускорение каждого тела в момент времени $t = 2$ с.

Подставим значение $t = 2$ в найденные функции ускорения:

Ускорение первого тела:

$a_1(2) = 6 \cdot 2 - 2 = 12 - 2 = 10$ $м/с^2$

Ускорение второго тела:

$a_2(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$ $м/с^2$

Ответ: в момент времени, когда скорости тел равны, ускорение первого тела составляет $10$ $м/с^2$, а ускорение второго тела — $5$ $м/с^2$.