Номер 43.31, страница 339 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.31. Решите уравнение $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$

Исходное уравнение: $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:$\begin{cases}5-x \geq 0 \\x-3 \geq 0\end{cases}$Решая эту систему неравенств, получаем:$\begin{cases}x \leq 5 \\x \geq 3\end{cases}$Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, 5]$.

2. Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = \sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}$. Найдем ее наибольшее значение на отрезке $[3, 5]$. Для этого можно использовать производную или метод оценки. Воспользуемся вторым методом. По неравенству Коши-Буняковского (или оценив через сумму квадратов):$(\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3})^2 \leq (1^2+1^2)((\sqrt{5-x})^2 + (\sqrt{x-3})^2) = 2(5-x+x-3) = 2 \cdot 2 = 4$. Отсюда следует, что $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \leq \sqrt{4} = 2$. Равенство достигается, когда $\sqrt{5-x} = \sqrt{x-3}$, что приводит к уравнению $5-x = x-3$, откуда $2x=8$ и $x=4$. Значение $x=4$ принадлежит ОДЗ. Таким образом, максимальное значение левой части уравнения равно 2 и достигается при $x=4$.

3. Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = x^2 - 8x + 18$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине. Выделим полный квадрат:$x^2 - 8x + 18 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 16) - 16 + 18 = (x-4)^2 + 2$. Поскольку $(x-4)^2 \geq 0$ для любого $x$, то наименьшее значение правой части равно 2. Это значение достигается при $(x-4)^2=0$, то есть при $x=4$.

4. Сопоставим результаты. Исходное уравнение может иметь решение только в том случае, когда его левая и правая части равны. Мы получили, что на ОДЗ:

• левая часть $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \leq 2$;
• правая часть $x^2 - 8x + 18 \geq 2$.

Равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 2. Это происходит при $x=4$.

5. Проверим, является ли $x=4$ корнем уравнения, подставив его в исходное выражение:$\sqrt{5-4} + \sqrt{4-3} = 4^2 - 8 \cdot 4 + 18$$\sqrt{1} + \sqrt{1} = 16 - 32 + 18$$1 + 1 = 2$$2 = 2$Равенство верное, значит $x=4$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $4$.