Номер 45.1, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45.1. Исследуйте данную функцию и постройте её график:

1) $f(x) = 3x - x^3 - 2;$

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5;$

3) $f(x) = 3x - \frac{x^3}{9};$

4) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3;$

5) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1;$

6) $f(x) = (x + 3)^2(x - 1)^2.$

1) $f(x) = 3x - x^3 - 2$

Проведем исследование функции:

1. Область определения.

   Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = 3(-x) - (-x)^3 - 2 = -3x + x^3 - 2 = -(3x - x^3 + 2)$.

   Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 3(0) - 0^3 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies 3x - x^3 - 2 = 0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0$.

   Подбором находим корень $x=1$. Делим многочлен $(x^3 - 3x + 2)$ на $(x-1)$ и получаем $(x^2 + x - 2)$.

   Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x=1$ и $x=-2$.

   Таким образом, точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$ (корень $x=1$ имеет кратность 2, график касается оси в этой точке).

4. Асимптоты.

   Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Наклонных асимптот нет, так как это многочлен степени выше первой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

   Найдем первую производную: $f'(x) = (3x - x^3 - 2)' = 3 - 3x^2 = 3(1-x^2) = 3(1-x)(1+x)$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x = -1, x = 1$.

   При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = f(-1) = 3(-1) - (-1)^3 - 2 = -3 + 1 - 2 = -4$.

   Точка $x=1$ — точка локального максимума. $y_{max} = f(1) = 3(1) - 1^3 - 2 = 3 - 1 - 2 = 0$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $f''(x) = (3 - 3x^2)' = -6x$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=0$.

   При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

   При $x \in (0, \infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

   Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0) = -2$.

7. Построение графика.

   На основе проведенного анализа строим график. Ключевые точки: $(-2, 0)$, $(1, 0)$ - пересечение с Ox; $(0, -2)$ - пересечение с Oy и точка перегиба; $(-1, -4)$ - минимум; $(1, 0)$ - максимум.

Ответ: Точки экстремума: минимум $(-1, -4)$, максимум $(1, 0)$. Точка перегиба $(0, -2)$. Функция возрастает на $(-1, 1)$ и убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(-2, 0), (1, 0), (0, -2)$.

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 + 5 = -2x^3 - 3x^2 + 5$. Функция общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 5$. Точка $(0, 5)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies 2x^3 - 3x^2 + 5 = 0$. Подбором находим корень $x=-1$. Деление многочлена на $(x+1)$ дает $2x^2 - 5x + 5$, у которого дискриминант $D = 25 - 4(2)(5) = -15 < 0$, других действительных корней нет. Точка пересечения $(-1, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$.

   Критические точки: $x=0, x=1$.

   При $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   При $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   $x=0$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = 5$.

   $x=1$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(1) = 2 - 3 + 5 = 4$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = 12x - 6 = 6(2x-1)$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=1/2$.

   При $x \in (-\infty, 1/2)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   При $x \in (1/2, \infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   $x=1/2$ — точка перегиба. $y(1/2) = 2(1/8) - 3(1/4) + 5 = 1/4 - 3/4 + 5 = 4.5$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(-1, 0)$ - пересечение с Ox; $(0, 5)$ - пересечение с Oy и максимум; $(1, 4)$ - минимум; $(0.5, 4.5)$ - точка перегиба.

Ответ: Точки экстремума: максимум $(0, 5)$, минимум $(1, 4)$. Точка перегиба $(0.5, 4.5)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(0, 1)$. График выпуклый на $(-\infty, 0.5)$ и вогнутый на $(0.5, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(-1, 0), (0, 5)$.

3) $f(x) = 3x - \frac{x^3}{9}$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(-x) = 3(-x) - \frac{(-x)^3}{9} = -3x + \frac{x^3}{9} = -(3x - \frac{x^3}{9}) = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies 3x - \frac{x^3}{9} = 0 \implies x(3 - \frac{x^2}{9}) = 0$. Корни: $x=0, x=\pm\sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$. Точки $(0, 0), (-3\sqrt{3}, 0), (3\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 3 - \frac{3x^2}{9} = 3 - \frac{x^2}{3}$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x^2=9 \implies x=\pm 3$.

   При $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-3, 3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-3$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(-3) = -9 - (-27)/9 = -6$.

   $x=3$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(3) = 9 - 27/9 = 6$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = -\frac{2x}{3}$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=0$.

   При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (0, \infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=0$ — точка перегиба. $y(0) = 0$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(0, 0)$ - пересечение с осями и точка перегиба; $(-3\sqrt{3}, 0), (3\sqrt{3}, 0)$ - пересечение с Ox; $(-3, -6)$ - минимум; $(3, 6)$ - максимум.

Ответ: Функция нечетная. Точки экстремума: минимум $(-3, -6)$, максимум $(3, 6)$. Точка перегиба $(0, 0)$. Функция возрастает на $(-3, 3)$ и убывает на $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(0, 0), (-3\sqrt{3}, 0), (3\sqrt{3}, 0)$.

4) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(-x) = \frac{3}{2}(-x)^2 - (-x)^3 = \frac{3}{2}x^2 + x^3$. Функция общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies \frac{3}{2}x^2 - x^3 = x^2(\frac{3}{2} - x) = 0$. Корни: $x=0$ (кратность 2), $x=3/2$. Точки $(0, 0)$ и $(1.5, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 3x - 3x^2 = 3x(1-x)$.

   Критические точки: $x=0, x=1$.

   При $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=0$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(0) = 0$.

   $x=1$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(1) = 3/2 - 1 = 1/2$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = 3 - 6x = 3(1-2x)$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=1/2$.

   При $x \in (-\infty, 1/2)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (1/2, \infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=1/2$ — точка перегиба. $y(1/2) = \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(0, 0)$ - пересечение с осями и минимум; $(1.5, 0)$ - пересечение с Ox; $(1, 0.5)$ - максимум; $(0.5, 0.25)$ - точка перегиба.

Ответ: Точки экстремума: минимум $(0, 0)$, максимум $(1, 0.5)$. Точка перегиба $(0.5, 0.25)$. Функция возрастает на $(0, 1)$ и убывает на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 0.5)$ и выпуклый на $(0.5, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(0, 0), (1.5, 0)$.

5) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(x) = (x^2 - 1)^2$. $f(-x) = ((-x)^2-1)^2 = (x^2-1)^2 = f(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2=1 \implies x=\pm 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

   Критические точки: $x=0, x=-1, x=1$.

   При $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-1, x=1$ — точки локального минимума, $y_{min} = f(\pm 1) = 0$.

   $x=0$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = 1$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2-1)$.

   Точки возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x^2=1/3 \implies x=\pm 1/\sqrt{3}$.

   При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}, \infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=\pm 1/\sqrt{3}$ — точки перегиба. $y(\pm 1/\sqrt{3}) = ((1/\sqrt{3})^2-1)^2 = (1/3-1)^2 = (-2/3)^2=4/9$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(-1, 0), (1, 0)$ - минимумы; $(0, 1)$ - максимум; $(-1/\sqrt{3}, 4/9), (1/\sqrt{3}, 4/9)$ - точки перегиба.

Ответ: Функция четная. Точки экстремума: минимумы $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, максимум $(0, 1)$. Точки перегиба $(\pm 1/\sqrt{3}, 4/9)$. Функция возрастает на $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$. График вогнутый на $(-\infty, -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}, \infty)$ и выпуклый на $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$.

6) $f(x) = (x+3)^2(x-1)^2$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(x) = ((x+3)(x-1))^2 = (x^2+2x-3)^2$. $f(-x) = ((-x)^2+2(-x)-3)^2 = (x^2-2x-3)^2$. Функция общего вида. Однако функция симметрична относительно прямой $x=-1$.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = (3)^2(-1)^2=9$. Точка $(0, 9)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies (x+3)^2(x-1)^2=0$. Корни $x=-3, x=1$ (оба кратности 2). Точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = ((x^2+2x-3)^2)' = 2(x^2+2x-3)(2x+2) = 4(x+1)(x+3)(x-1)$.

   Критические точки: $x=-3, x=-1, x=1$.

   При $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-3, x=1$ — точки локального минимума, $y_{min} = f(-3) = f(1) = 0$.

   $x=-1$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(-1) = (-1+3)^2(-1-1)^2 = 2^2(-2)^2=16$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f'(x) = 4(x^3+3x^2-x-3)$, тогда $f''(x) = 4(3x^2+6x-1)$.

   Точки возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies 3x^2+6x-1=0$. Корни $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36+12}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{48}}{6} = -1 \pm \frac{4\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

   При $x \in (-\infty, -1-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}, -1+\frac{2\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точки перегиба. $y = f(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) = ((-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3})^2 + 2(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) - 3)^2 = \frac{64}{9}$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(-3, 0), (1, 0)$ - минимумы; $(-1, 16)$ - максимум; $(0, 9)$ - пересечение с Oy; $(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{64}{9})$ - точки перегиба.

Ответ: Точки экстремума: минимумы $(-3, 0)$ и $(1, 0)$, максимум $(-1, 16)$. Точки перегиба $(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{64}{9})$. Функция возрастает на $(-3, -1) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(-\infty, -3) \cup (-1, 1)$. График вогнутый на $(-\infty, -1-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$ и выпуклый между этими точками. График симметричен относительно прямой $x=-1$.