Номер 45.6, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45.6. Постройте график функции $f(x) = -x^2(x^2 - 4)$ и определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$.

Постройте график функции $f(x) = -x^2(x^2 - 4)$

Для построения графика функции $f(x) = -x^2(x^2 - 4)$, которую можно записать как $f(x) = 4x^2 - x^4$, проведем ее исследование.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
Проверим функцию на четность: $f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной, а ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$ получаем $f(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
- С осью OX: при $f(x)=0$ решаем уравнение $-x^2(x^2 - 4) = 0$. Отсюда $x^2=0$ или $x^2-4=0$. Корни: $x_1 = 0$ (корень кратности 2, что означает касание графика), $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Экстремумы и промежутки монотонности.
Найдем производную функции: $f'(x) = (4x^2 - x^4)' = 8x - 4x^3$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$8x - 4x^3 = 0 \implies -4x(x^2 - 2) = 0$.
Критические точки: $x=0$, $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось:
- Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2})$ и $(0; \sqrt{2})$, так как на них $f'(x) > 0$.
- Функция убывает на промежутках $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$, так как на них $f'(x) < 0$.
Следовательно, $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ являются точками локального максимума, а точка $x=0$ — точкой локального минимума.
Вычислим значения функции в этих точках:
$f_{max} = f(\pm\sqrt{2}) = 4(\pm\sqrt{2})^2 - (\pm\sqrt{2})^4 = 4 \cdot 2 - 4 = 4$.
$f_{min} = f(0) = 0$.
Координаты точек экстремума: $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$ (максимумы), $(0, 0)$ (минимум).

На основании проведенного исследования строим эскиз графика. График симметричен относительно оси OY, имеет два максимума в точках $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$, и минимум в точке $(0,0)$, где он касается оси OX. Ветви графика направлены вниз.

Определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$

Количество корней уравнения $f(x) = a$ равно числу точек пересечения графика функции $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=a$. Анализируя построенный график, получаем следующие случаи:

- Если $a > 4$, прямая $y=a$ проходит выше точек максимума, и пересечений с графиком нет.
- Если $a = 4$, прямая $y=a$ касается графика в двух точках максимума.
- Если $0 < a < 4$, прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках.
- Если $a = 0$, прямая $y=a$ (ось OX) пересекает график в трех точках (в двух точках пересечения и одной точке касания).
- Если $a < 0$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках.

Ответ:
- если $a > 4$, то уравнение не имеет корней;
- если $a=4$ или $a < 0$, то уравнение имеет 2 корня;
- если $a=0$, то уравнение имеет 3 корня;
- если $0 < a < 4$, то уравнение имеет 4 корня.