Страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45.1. Исследуйте данную функцию и постройте её график:

1) $f(x) = 3x - x^3 - 2;$

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5;$

3) $f(x) = 3x - \frac{x^3}{9};$

4) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3;$

5) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1;$

6) $f(x) = (x + 3)^2(x - 1)^2.$

1) $f(x) = 3x - x^3 - 2$

Проведем исследование функции:

1. Область определения.

   Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = 3(-x) - (-x)^3 - 2 = -3x + x^3 - 2 = -(3x - x^3 + 2)$.

   Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 3(0) - 0^3 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies 3x - x^3 - 2 = 0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0$.

   Подбором находим корень $x=1$. Делим многочлен $(x^3 - 3x + 2)$ на $(x-1)$ и получаем $(x^2 + x - 2)$.

   Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x=1$ и $x=-2$.

   Таким образом, точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$ (корень $x=1$ имеет кратность 2, график касается оси в этой точке).

4. Асимптоты.

   Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Наклонных асимптот нет, так как это многочлен степени выше первой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

   Найдем первую производную: $f'(x) = (3x - x^3 - 2)' = 3 - 3x^2 = 3(1-x^2) = 3(1-x)(1+x)$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x = -1, x = 1$.

   При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = f(-1) = 3(-1) - (-1)^3 - 2 = -3 + 1 - 2 = -4$.

   Точка $x=1$ — точка локального максимума. $y_{max} = f(1) = 3(1) - 1^3 - 2 = 3 - 1 - 2 = 0$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $f''(x) = (3 - 3x^2)' = -6x$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=0$.

   При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

   При $x \in (0, \infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

   Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0) = -2$.

7. Построение графика.

   На основе проведенного анализа строим график. Ключевые точки: $(-2, 0)$, $(1, 0)$ - пересечение с Ox; $(0, -2)$ - пересечение с Oy и точка перегиба; $(-1, -4)$ - минимум; $(1, 0)$ - максимум.

Ответ: Точки экстремума: минимум $(-1, -4)$, максимум $(1, 0)$. Точка перегиба $(0, -2)$. Функция возрастает на $(-1, 1)$ и убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(-2, 0), (1, 0), (0, -2)$.

2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 + 5 = -2x^3 - 3x^2 + 5$. Функция общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 5$. Точка $(0, 5)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies 2x^3 - 3x^2 + 5 = 0$. Подбором находим корень $x=-1$. Деление многочлена на $(x+1)$ дает $2x^2 - 5x + 5$, у которого дискриминант $D = 25 - 4(2)(5) = -15 < 0$, других действительных корней нет. Точка пересечения $(-1, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$.

   Критические точки: $x=0, x=1$.

   При $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   При $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   $x=0$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = 5$.

   $x=1$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(1) = 2 - 3 + 5 = 4$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = 12x - 6 = 6(2x-1)$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=1/2$.

   При $x \in (-\infty, 1/2)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   При $x \in (1/2, \infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   $x=1/2$ — точка перегиба. $y(1/2) = 2(1/8) - 3(1/4) + 5 = 1/4 - 3/4 + 5 = 4.5$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(-1, 0)$ - пересечение с Ox; $(0, 5)$ - пересечение с Oy и максимум; $(1, 4)$ - минимум; $(0.5, 4.5)$ - точка перегиба.

Ответ: Точки экстремума: максимум $(0, 5)$, минимум $(1, 4)$. Точка перегиба $(0.5, 4.5)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(0, 1)$. График выпуклый на $(-\infty, 0.5)$ и вогнутый на $(0.5, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(-1, 0), (0, 5)$.

3) $f(x) = 3x - \frac{x^3}{9}$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(-x) = 3(-x) - \frac{(-x)^3}{9} = -3x + \frac{x^3}{9} = -(3x - \frac{x^3}{9}) = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies 3x - \frac{x^3}{9} = 0 \implies x(3 - \frac{x^2}{9}) = 0$. Корни: $x=0, x=\pm\sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$. Точки $(0, 0), (-3\sqrt{3}, 0), (3\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 3 - \frac{3x^2}{9} = 3 - \frac{x^2}{3}$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x^2=9 \implies x=\pm 3$.

   При $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-3, 3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-3$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(-3) = -9 - (-27)/9 = -6$.

   $x=3$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(3) = 9 - 27/9 = 6$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = -\frac{2x}{3}$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=0$.

   При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (0, \infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=0$ — точка перегиба. $y(0) = 0$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(0, 0)$ - пересечение с осями и точка перегиба; $(-3\sqrt{3}, 0), (3\sqrt{3}, 0)$ - пересечение с Ox; $(-3, -6)$ - минимум; $(3, 6)$ - максимум.

Ответ: Функция нечетная. Точки экстремума: минимум $(-3, -6)$, максимум $(3, 6)$. Точка перегиба $(0, 0)$. Функция возрастает на $(-3, 3)$ и убывает на $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(0, 0), (-3\sqrt{3}, 0), (3\sqrt{3}, 0)$.

4) $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(-x) = \frac{3}{2}(-x)^2 - (-x)^3 = \frac{3}{2}x^2 + x^3$. Функция общего вида.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies \frac{3}{2}x^2 - x^3 = x^2(\frac{3}{2} - x) = 0$. Корни: $x=0$ (кратность 2), $x=3/2$. Точки $(0, 0)$ и $(1.5, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 3x - 3x^2 = 3x(1-x)$.

   Критические точки: $x=0, x=1$.

   При $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=0$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(0) = 0$.

   $x=1$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(1) = 3/2 - 1 = 1/2$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = 3 - 6x = 3(1-2x)$.

   Точка возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x=1/2$.

   При $x \in (-\infty, 1/2)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (1/2, \infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=1/2$ — точка перегиба. $y(1/2) = \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(0, 0)$ - пересечение с осями и минимум; $(1.5, 0)$ - пересечение с Ox; $(1, 0.5)$ - максимум; $(0.5, 0.25)$ - точка перегиба.

Ответ: Точки экстремума: минимум $(0, 0)$, максимум $(1, 0.5)$. Точка перегиба $(0.5, 0.25)$. Функция возрастает на $(0, 1)$ и убывает на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 0.5)$ и выпуклый на $(0.5, \infty)$. Точки пересечения с осями: $(0, 0), (1.5, 0)$.

5) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(x) = (x^2 - 1)^2$. $f(-x) = ((-x)^2-1)^2 = (x^2-1)^2 = f(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси $Oy$.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2=1 \implies x=\pm 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

   Критические точки: $x=0, x=-1, x=1$.

   При $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-1, x=1$ — точки локального минимума, $y_{min} = f(\pm 1) = 0$.

   $x=0$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = 1$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f''(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2-1)$.

   Точки возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies x^2=1/3 \implies x=\pm 1/\sqrt{3}$.

   При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}, \infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=\pm 1/\sqrt{3}$ — точки перегиба. $y(\pm 1/\sqrt{3}) = ((1/\sqrt{3})^2-1)^2 = (1/3-1)^2 = (-2/3)^2=4/9$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(-1, 0), (1, 0)$ - минимумы; $(0, 1)$ - максимум; $(-1/\sqrt{3}, 4/9), (1/\sqrt{3}, 4/9)$ - точки перегиба.

Ответ: Функция четная. Точки экстремума: минимумы $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, максимум $(0, 1)$. Точки перегиба $(\pm 1/\sqrt{3}, 4/9)$. Функция возрастает на $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$. График вогнутый на $(-\infty, -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}, \infty)$ и выпуклый на $(-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$.

6) $f(x) = (x+3)^2(x-1)^2$

Проведем исследование функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность и нечетность: $f(x) = ((x+3)(x-1))^2 = (x^2+2x-3)^2$. $f(-x) = ((-x)^2+2(-x)-3)^2 = (x^2-2x-3)^2$. Функция общего вида. Однако функция симметрична относительно прямой $x=-1$.
3. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \implies f(0) = (3)^2(-1)^2=9$. Точка $(0, 9)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \implies (x+3)^2(x-1)^2=0$. Корни $x=-3, x=1$ (оба кратности 2). Точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Асимптоты: Отсутствуют.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

   $f'(x) = ((x^2+2x-3)^2)' = 2(x^2+2x-3)(2x+2) = 4(x+1)(x+3)(x-1)$.

   Критические точки: $x=-3, x=-1, x=1$.

   При $x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   При $x \in (-3, -1) \cup (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-3, x=1$ — точки локального минимума, $y_{min} = f(-3) = f(1) = 0$.

   $x=-1$ — точка локального максимума, $y_{max} = f(-1) = (-1+3)^2(-1-1)^2 = 2^2(-2)^2=16$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   $f'(x) = 4(x^3+3x^2-x-3)$, тогда $f''(x) = 4(3x^2+6x-1)$.

   Точки возможного перегиба: $f''(x) = 0 \implies 3x^2+6x-1=0$. Корни $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36+12}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{48}}{6} = -1 \pm \frac{4\sqrt{3}}{6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

   При $x \in (-\infty, -1-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   При $x \in (-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}, -1+\frac{2\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точки перегиба. $y = f(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) = ((-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3})^2 + 2(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) - 3)^2 = \frac{64}{9}$.

7. Построение графика:

   Ключевые точки: $(-3, 0), (1, 0)$ - минимумы; $(-1, 16)$ - максимум; $(0, 9)$ - пересечение с Oy; $(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{64}{9})$ - точки перегиба.

Ответ: Точки экстремума: минимумы $(-3, 0)$ и $(1, 0)$, максимум $(-1, 16)$. Точки перегиба $(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{64}{9})$. Функция возрастает на $(-3, -1) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(-\infty, -3) \cup (-1, 1)$. График вогнутый на $(-\infty, -1-\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}, \infty)$ и выпуклый между этими точками. График симметричен относительно прямой $x=-1$.

45.2. Исследуйте данную функцию и постройте её график:

1) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$;

2) $f(x) = x - x^3$;

3) $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$;

4) $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$.

Исследуем функцию $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = 4(-x) - \frac{1}{3}(-x)^3 = -4x + \frac{1}{3}x^3 = -(4x - \frac{1}{3}x^3) = -f(x)$.

Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies 4x - \frac{1}{3}x^3 = 0 \implies x(4 - \frac{1}{3}x^2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $4 - \frac{1}{3}x^2 = 0 \implies x^2 = 12 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.

Точки пересечения: $(0; 0)$, $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(2\sqrt{3}; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Точка $x=-2$ является точкой локального минимума. $f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3 = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$.

Точка $x=2$ является точкой локального максимума. $f(2) = 4(2) - \frac{1}{3}(2)^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).

Точка $x=0$ является точкой перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба — $(0; 0)$.

6. Построение графика.

На основе полученных данных строим график. Ключевые точки: пересечение с осями $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{3}; 0)$; экстремумы $(-2; -16/3)$ и $(2; 16/3)$; точка перегиба $(0; 0)$.

Ответ: Функция нечетная, симметричная относительно начала координат. Пересекает оси в точках $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$ и $(2\sqrt{3}; 0)$. Точка локального минимума: $(-2; -16/3)$. Точка локального максимума: $(2; 16/3)$. Точка перегиба: $(0; 0)$. Функция возрастает на интервале $(-2; 2)$ и убывает на $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0)$ и выпуклый вверх на $(0; +\infty)$.

Исследуем функцию $f(x) = x - x^3$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = (-x) - (-x)^3 = -x + x^3 = -(x - x^3) = -f(x)$.

Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies x - x^3 = 0 \implies x(1 - x^2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Точки пересечения: $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = 1 - 3x^2$.

Критические точки: $1 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

• При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ — точка минимума. $f(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{3\sqrt{3}}) = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — точка максимума. $f(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

$f''(x) = (1 - 3x^2)' = -6x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
• При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

Точка перегиба — $(0; 0)$.

6. Построение графика.

Ключевые точки: пересечение с осями $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$; экстремумы $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{2\sqrt{3}}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{9})$; точка перегиба $(0; 0)$.

Ответ: Функция нечетная, симметричная относительно начала координат. Пересекает оси в точках $(-1; 0)$, $(0; 0)$ и $(1; 0)$. Точка локального минимума: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{2\sqrt{3}}{9})$. Точка локального максимума: $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{9})$. Точка перегиба: $(0; 0)$. Функция возрастает на $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ и убывает на $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Исследуем функцию $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = \frac{(-x)^4}{2} - 4(-x)^2 = \frac{x^4}{2} - 4x^2 = f(x)$.

Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies \frac{x^4}{2} - 4x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x^2}{2} - 4) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $\frac{x^2}{2} = 4 \implies x^2 = 8 \implies x_{2,3} = \pm 2\sqrt{2}$.

Точки пересечения: $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{2}; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

$f'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x-2)(x+2)$.

Критические точки: $x=0$, $x=2$, $x=-2$.

• $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

$x=-2$ и $x=2$ — точки минимума. $f(\pm 2) = \frac{16}{2} - 4(4) = 8 - 16 = -8$.

$x=0$ — точка максимума. $f(0) = 0$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

$f''(x) = (2x^3 - 8x)' = 6x^2 - 8$.

$f''(x) = 0 \implies 6x^2 = 8 \implies x^2 = 4/3 \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

• При $x \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
• При $x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

Точки перегиба: $x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$. $f(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{16}{9}) - 4(\frac{4}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{16}{3} = -\frac{40}{9}$.

6. Построение графика.

Ключевые точки: пересечения $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{2}; 0)$; экстремумы $(-2; -8)$, $(0; 0)$, $(2; -8)$; точки перегиба $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{40}{9})$.

Ответ: Функция четная, симметричная относительно оси Oy. Пересекает оси в точках $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$ и $(2\sqrt{2}; 0)$. Точки локального минимума: $(-2; -8)$ и $(2; -8)$. Точка локального максимума: $(0; 0)$. Точки перегиба: $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{40}{9})$. Функция возрастает на $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$.

Исследуем функцию $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$. Запишем в стандартном виде: $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 7 = -x^4 + 8x^2 - 7 = f(x)$.

Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = -7$. Точка $(0; -7)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies -x^4 + 8x^2 - 7 = 0 \implies x^4 - 8x^2 + 7 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t=x^2, t \ge 0$. $t^2 - 8t + 7 = 0$. По теореме Виета $t_1=1, t_2=7$.

$x^2=1 \implies x=\pm 1$. $x^2=7 \implies x=\pm \sqrt{7}$.

Точки пересечения: $(-\sqrt{7}; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(\sqrt{7}; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

$f'(x) = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$.

Критические точки: $x=0$, $x=2$, $x=-2$.

• $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x=-2$ и $x=2$ — точки максимума. $f(\pm 2) = -(\pm 2)^4 + 8(\pm 2)^2 - 7 = -16 + 32 - 7 = 9$.

$x=0$ — точка минимума. $f(0) = -7$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

$f''(x) = (-4x^3 + 16x)' = -12x^2 + 16$.

$f''(x) = 0 \implies -12x^2 + 16 = 0 \implies x^2 = 16/12 = 4/3 \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

• При $x \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
• При $x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

Точки перегиба: $x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$. $f(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) = -(\frac{16}{9}) + 8(\frac{4}{3}) - 7 = \frac{-16+96-63}{9} = \frac{17}{9}$.

6. Построение графика.

Ключевые точки: пересечения $(-\sqrt{7}; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(\sqrt{7}; 0)$ и $(0, -7)$; экстремумы $(-2; 9)$, $(0; -7)$, $(2; 9)$; точки перегиба $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{17}{9})$.

Ответ: Функция четная, симметричная относительно оси Oy. Пересекает ось Oy в точке $(0; -7)$ и ось Ox в точках $(\pm 1; 0)$ и $(\pm \sqrt{7}; 0)$. Точки локального максимума: $(-2; 9)$ и $(2; 9)$. Точка локального минимума: $(0; -7)$. Точки перегиба: $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{17}{9})$. Функция возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$, убывает на $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$.

45.3. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{4 - x}{x + 2};$

2) $f(x) = \frac{2}{x^2 - 1};$

3) $f(x) = \frac{6x - 6}{x^2 + 3};$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4};$

5) $f(x) = \frac{x}{4 - x^2};$

6) $f(x) = - \frac{2x}{x^2 + 1};$

7) $f(x) = \frac{2(x - 1)}{x^2};$

8) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}.$

45.4. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$;

3) $f(x) = \frac{1+x^2}{1-x^2}$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$;

5) $f(x) = \frac{3x}{x^2-9}$;

6) $f(x) = \frac{2x}{(x+1)^2}$.

Для построения графика функции проведем полное исследование каждой функции.

1) $f(x) = \frac{x-3}{x-1}$

1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): $f(0) = \frac{0-3}{0-1} = 3$. Точка $(0; 3)$.
С осью OX ($y=0$): $\frac{x-3}{x-1} = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$. Точка $(3; 0)$.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{-x-3}{-x-1} = \frac{x+3}{x+1}$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x=1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=1$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-3}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1-3/x}{1-1/x} = 1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
Найдем первую производную:
$f'(x) = \left(\frac{x-3}{x-1}\right)' = \frac{(x-1) - (x-3)}{(x-1)^2} = \frac{2}{(x-1)^2}$.
$f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.
Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
$f''(x) = \left(2(x-1)^{-2}\right)' = -4(x-1)^{-3} = \frac{-4}{(x-1)^3}$.
- При $x < 1$, $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x > 1$, $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
Точек перегиба нет.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. График пересекает оси в точках $(0; 3)$ и $(3; 0)$. Функция возрастает на всей области определения. График вогнут при $x < 1$ и выпуклый при $x > 1$.

2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$

1. Область определения.
$x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 2$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): не определена, пересечения нет.
С осью OX ($y=0$): $\frac{1}{x^2 - 2x} = 0$, решений нет, пересечения нет.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 2(-x)} = \frac{1}{x^2 + 2x}$. Функция общего вида.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=0$ и $x=2$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x(x-2)} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x(x-2)} = -\infty$.
$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x(x-2)} = -\infty$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x(x-2)} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 - 2x} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \left((x^2 - 2x)^{-1}\right)' = -(x^2 - 2x)^{-2}(2x - 2) = \frac{2(1-x)}{(x^2-2x)^2}$.
$f'(x) = 0 \implies 1-x=0 \implies x=1$.
- При $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
- При $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
В точке $x=1$ максимум: $f(1) = \frac{1}{1-2} = -1$. Точка максимума $(1; -1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2(x^2-2x)^2 - (2-2x) \cdot 2(x^2-2x)(2x-2)}{(x^2-2x)^4} = \frac{6x^2-12x+8}{(x(x-2))^3}$.
Числитель $6x^2-12x+8$ не имеет корней и всегда положителен. Знак $f''(x)$ зависит от знаменателя.
- При $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, $(x(x-2))^3>0$, $f''(x)>0$, график вогнутый.
- При $x \in (0; 2)$, $(x(x-2))^3<0$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
Точек перегиба нет.

Ответ: График имеет три ветви, разделенные вертикальными асимптотами $x=0$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Функция имеет локальный максимум в точке $(1; -1)$. График вогнут на $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, выпуклый на $(0; 2)$. Пересечений с осями нет.

3) $f(x) = \frac{1+x^2}{1-x^2}$

1. Область определения.
$1-x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): $f(0) = \frac{1}{1} = 1$. Точка $(0; 1)$.
С осью OX ($y=0$): $1+x^2 = 0$, решений нет, пересечения нет.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2} = \frac{1+x^2}{1-x^2} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{1+x^2}{(1-x)(1+x)} = +\infty$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{1+x^2}{(1-x)(1+x)} = -\infty$.
В силу четности: $\lim_{x \to -1^+} = +\infty$, $\lim_{x \to -1^-} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+x^2}{1-x^2} = -1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{2x(1-x^2) - (1+x^2)(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{4x}{(1-x^2)^2}$.
$f'(x) = 0 \implies x=0$.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
В точке $x=0$ минимум: $f(0)=1$. Точка минимума $(0; 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{4(1-x^2)^2 - 4x \cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}$.
Числитель всегда положителен. Знак зависит от знаменателя.
- При $x \in (-1; 1)$, $(1-x^2)^3 > 0$, $f''(x)>0$, график вогнутый.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $(1-x^2)^3 < 0$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
Точек перегиба нет.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=-1, x=1$, горизонтальная асимптота $y=-1$. Точка локального минимума $(0; 1)$. График выпуклый на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, вогнутый на $(-1; 1)$.

4) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

1. Область определения.
$x^2+1 > 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY ($x=0$): $f(0)=1$. Точка $(0; 1)$.
С осью OX ($y=0$): $\frac{1}{x^2+1}=0$, нет решений.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+1} = f(x)$. Функция четная.

4. Асимптоты.
- Вертикальных асимптот нет.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2+1} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$.
$f'(x) = 0 \implies x=0$.
- При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x > 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ максимум: $f(0)=1$. Точка максимума $(0; 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2(x^2+1)^2 - (-2x) \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}$.
$f''(x) = 0 \implies 6x^2-2=0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm 1/\sqrt{3}$.
Точки перегиба: $x = \pm 1/\sqrt{3}$.
$f(\pm 1/\sqrt{3}) = \frac{1}{1/3+1} = 3/4$. Точки $(\pm 1/\sqrt{3}; 3/4)$.
- При $x \in (-\infty; -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}; +\infty)$, $f''(x)>0$, график вогнутый.
- При $x \in (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3})$, $f''(x)<0$, график выпуклый.

Ответ: График — колоколообразная кривая, симметричная относительно оси OY. Горизонтальная асимптота $y=0$. Глобальный максимум в точке $(0; 1)$. Точки перегиба в $(\pm 1/\sqrt{3}; 3/4)$.

5) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$

1. Область определения.
$x^2 - 9 \neq 0 \implies x \neq \pm 3$.
$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
$f(x)=0 \implies 3x=0 \implies x=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 - 9} = \frac{-3x}{x^2 - 9} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

4. Асимптоты.
- Вертикальные асимптоты: $x=-3$ и $x=3$.
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.
В силу нечетности: $\lim_{x \to -3^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2 - 9} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2-27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.
$f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Функция всегда убывает. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{6x(x^2+27)}{(x^2-9)^3}$.
$f''(x) = 0 \implies x=0$. Точка перегиба $(0; 0)$.
- При $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
- При $x \in (-3; 0) \cup (3; +\infty)$, $f''(x)>0$, график вогнутый.

Ответ: График симметричен относительно начала координат. Вертикальные асимптоты $x=-3, x=3$, горизонтальная асимптота $y=0$. Функция убывает на всей области определения. Точка перегиба в $(0; 0)$.

6) $f(x) = \frac{2x}{(x+1)^2}$

1. Область определения.
$(x+1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1$.
$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
$f(x)=0 \implies 2x=0 \implies x=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

3. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{-2x}{(-x+1)^2} = \frac{-2x}{(x-1)^2}$. Функция общего вида.

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x=-1$.
$\lim_{x \to -1} \frac{2x}{(x+1)^2} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{(x+1)^2} = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
$f'(x) = \frac{2(x+1)^2 - 2x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{2(1-x)}{(x+1)^3}$.
$f'(x) = 0 \implies x=1$.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
- При $x \in (-1; 1)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
В точке $x=1$ максимум: $f(1) = \frac{2}{(1+1)^2} = \frac{1}{2}$. Точка максимума $(1; 1/2)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2(x+1)^3 - (2-2x) \cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6} = \frac{4(x-2)}{(x+1)^4}$.
$f''(x) = 0 \implies x=2$. Точка перегиба $x=2$.
$f(2) = \frac{4}{(2+1)^2} = 4/9$. Точка $(2; 4/9)$.
- При $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2)$, $f''(x)<0$, график выпуклый.
- При $x \in (2; +\infty)$, $f''(x)>0$, график вогнутый.

Ответ: График имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. Пересекает оси в точке $(0; 0)$. Локальный максимум в точке $(1; 1/2)$. Точка перегиба в $(2; 4/9)$. Функция убывает на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, возрастает на $(-1; 1)$.

45.5. Постройте график функции $f(x) = x^2(2x - 3)$ и определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$.

Постройте график функции $f(x) = x^2(2x - 3)$

Для построения графика проведем исследование функции, представив ее в виде многочлена: $f(x) = 2x^3 - 3x^2$.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому её область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
- С осью $Oy$: при $x=0$ имеем $f(0)=0$. График проходит через начало координат $(0;0)$.
- С осью $Ox$: решаем уравнение $f(x)=0 \Rightarrow x^2(2x-3)=0$. Корни уравнения: $x=0$ (корень кратности 2, что означает, что график касается оси $Ox$ в этой точке) и $x=1.5$. Точки пересечения/касания: $(0;0)$ и $(1.5;0)$.

3. Экстремумы и интервалы монотонности.
Найдем первую производную: $f'(x) = (2x^3 - 3x^2)' = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$.
Найдем критические точки из условия $f'(x)=0$: $6x(x-1)=0$, откуда $x=0$ и $x=1$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- на $(-\infty; 0)$ и $(1; +\infty)$ производная $f'(x)>0$, следовательно, функция возрастает;
- на $(0; 1)$ производная $f'(x)<0$, следовательно, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума: $f_{max} = f(0) = 0$. Точка максимума $(0;0)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума: $f_{min} = f(1) = 1^2(2\cdot 1-3) = -1$. Точка минимума $(1;-1)$.

Основываясь на полученной информации, строим эскиз графика. График возрастает из $-\infty$ до точки $(0;0)$, затем убывает до точки $(1;-1)$, и далее снова возрастает, пересекая ось $Ox$ в точке $(1.5;0)$.

Определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$

Количество корней уравнения $f(x) = a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$. Анализируя график и положение прямой $y=a$ относительно найденных точек экстремума, получаем:

- Если $a < -1$ (прямая ниже минимума) или $a > 0$ (прямая выше максимума), прямая $y=a$ пересекает график в одной точке.

- Если $a = -1$ (касание в точке минимума) или $a = 0$ (касание в точке максимума), прямая $y=a$ пересекает график в двух точках.

- Если $-1 < a < 0$ (прямая проходит между максимумом и минимумом), прямая $y=a$ пересекает график в трех точках.

Ответ:
- при $a \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$ — один корень;
- при $a = -1$ или $a = 0$ — два корня;
- при $a \in (-1; 0)$ — три корня.

45.6. Постройте график функции $f(x) = -x^2(x^2 - 4)$ и определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$.

Постройте график функции $f(x) = -x^2(x^2 - 4)$

Для построения графика функции $f(x) = -x^2(x^2 - 4)$, которую можно записать как $f(x) = 4x^2 - x^4$, проведем ее исследование.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность.
Проверим функцию на четность: $f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной, а ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY: при $x=0$ получаем $f(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
- С осью OX: при $f(x)=0$ решаем уравнение $-x^2(x^2 - 4) = 0$. Отсюда $x^2=0$ или $x^2-4=0$. Корни: $x_1 = 0$ (корень кратности 2, что означает касание графика), $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Экстремумы и промежутки монотонности.
Найдем производную функции: $f'(x) = (4x^2 - x^4)' = 8x - 4x^3$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$8x - 4x^3 = 0 \implies -4x(x^2 - 2) = 0$.
Критические точки: $x=0$, $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось:
- Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2})$ и $(0; \sqrt{2})$, так как на них $f'(x) > 0$.
- Функция убывает на промежутках $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$, так как на них $f'(x) < 0$.
Следовательно, $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ являются точками локального максимума, а точка $x=0$ — точкой локального минимума.
Вычислим значения функции в этих точках:
$f_{max} = f(\pm\sqrt{2}) = 4(\pm\sqrt{2})^2 - (\pm\sqrt{2})^4 = 4 \cdot 2 - 4 = 4$.
$f_{min} = f(0) = 0$.
Координаты точек экстремума: $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$ (максимумы), $(0, 0)$ (минимум).

На основании проведенного исследования строим эскиз графика. График симметричен относительно оси OY, имеет два максимума в точках $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$, и минимум в точке $(0,0)$, где он касается оси OX. Ветви графика направлены вниз.

Определите, пользуясь им, количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$

Количество корней уравнения $f(x) = a$ равно числу точек пересечения графика функции $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=a$. Анализируя построенный график, получаем следующие случаи:

- Если $a > 4$, прямая $y=a$ проходит выше точек максимума, и пересечений с графиком нет.
- Если $a = 4$, прямая $y=a$ касается графика в двух точках максимума.
- Если $0 < a < 4$, прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках.
- Если $a = 0$, прямая $y=a$ (ось OX) пересекает график в трех точках (в двух точках пересечения и одной точке касания).
- Если $a < 0$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках.

Ответ:
- если $a > 4$, то уравнение не имеет корней;
- если $a=4$ или $a < 0$, то уравнение имеет 2 корня;
- если $a=0$, то уравнение имеет 3 корня;
- если $0 < a < 4$, то уравнение имеет 4 корня.

45.7. Постройте график функции:

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1}$;

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$;

4) $f(x) = \frac{x^4 - 8}{(x + 1)^4}$.

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: $x \neq 0$.

   Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} = -x - \frac{1}{x} = -(x + \frac{1}{x}) = -f(x)$.

   Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0$ не входит в область определения, поэтому пересечения с осью Oy нет.
   • С осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \frac{x^2+1}{x}=0$. Уравнение $x^2+1=0$ не имеет действительных корней, поэтому пересечений с осью Ox нет.

4. Асимптоты.

   • Вертикальная асимптота: $x=0$.
     $\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$.
     $\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (-\infty) = -\infty$.
   • Наклонная асимптота вида $y = kx + b$:
     $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 1/x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1$.
     $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$.
     Наклонная асимптота: $y = x$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   Найдем первую производную: $f'(x) = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

   Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1, x = -1$.

   • На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • На интервалах $(-1; 0)$ и $(0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   В точке $x = -1$ происходит смена знака производной с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$. Точка максимума: $(-1, -2)$.

   В точке $x = 1$ происходит смена знака производной с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$. Точка минимума: $(1, 2)$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $f''(x) = (1 - x^{-2})' = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.

   $f''(x) \neq 0$ нигде.

   • При $x < 0$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (вогнутый).
   • При $x > 0$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

   Так как в точке $x=0$ функция не определена, точек перегиба нет.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь находится в первой координатной четверти, имеет локальный минимум в точке $(1, 2)$ и выпукла вниз. Вторая ветвь находится в третьей четверти, имеет локальный максимум в точке $(-1, -2)$ и выпукла вверх. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy) и наклонную асимптоту $y=x$.

2) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1}$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = \frac{(-x)^2 + 3(-x)}{-x - 1} = \frac{x^2 - 3x}{-(x + 1)}$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = \frac{0}{ -1} = 0$. Точка $(0, 0)$.
   • С осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(x+3) = 0$. Точки $x=0$ и $x=-3$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Асимптоты.

   • Вертикальная асимптота: $x=1$.
     $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \frac{4}{0^+} = +\infty$.
     $\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \frac{4}{0^-} = -\infty$.
   • Наклонная асимптота: степень числителя на единицу больше степени знаменателя. Выделим целую часть: $\frac{x^2 + 3x}{x - 1} = \frac{x^2 - x + 4x}{x - 1} = \frac{x(x-1) + 4(x-1)+4}{x-1} = x+4 + \frac{4}{x-1}$.
     Наклонная асимптота: $y = x+4$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   $f'(x) = (\frac{x^2 + 3x}{x - 1})' = \frac{(2x+3)(x-1) - (x^2+3x)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2+x-3-x^2-3x}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}$.

   Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3, x=-1$.

   • На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • На интервалах $(-1; 1)$ и $(1; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   $x=-1$ — точка локального максимума. $f(-1) = \frac{1-3}{-2}=1$. Точка максимума: $(-1, 1)$.

   $x=3$ — точка локального минимума. $f(3) = \frac{9+9}{2}=9$. Точка минимума: $(3, 9)$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

   $f''(x) = (\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2})' = \frac{(2x-2)(x-1)^2 - (x^2-2x-3) \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{2(x-1)^2 - 2(x^2-2x-3)}{(x-1)^3} = \frac{2(x^2-2x+1-x^2+2x+3)}{(x-1)^3} = \frac{8}{(x-1)^3}$.

   • При $x < 1$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
   • При $x > 1$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

   Точек перегиба нет.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x=1$. Левая ветвь пересекает оси в точках $(-3, 0)$ и $(0, 0)$, имеет локальный максимум в точке $(-1, 1)$ и выпукла вверх. Правая ветвь имеет локальный минимум в точке $(3, 9)$ и выпукла вниз. Обе ветви приближаются к наклонной асимптоте $y=x+4$.

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

   $f(x)=0 \Rightarrow x^3=0 \Rightarrow x=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

   • Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.
     $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$.
     $\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$.
   • Наклонная асимптота: $\frac{x^3}{x^2 - 4} = \frac{x(x^2-4)+4x}{x^2-4} = x + \frac{4x}{x^2-4}$.
     Наклонная асимптота: $y=x$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   $f'(x) = \frac{3x^2(x^2-4) - x^3(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{3x^4-12x^2-2x^4}{(x^2-4)^2} = \frac{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2} = \frac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}$.

   Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3.46$.

   • На $(-\infty; -2\sqrt{3})$ и $(2\sqrt{3}; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • На $(-2\sqrt{3}; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; 2\sqrt{3})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   $x = -2\sqrt{3}$ — точка локального максимума. $f(-2\sqrt{3}) = \frac{-24\sqrt{3}}{12-4} = -3\sqrt{3}$. Точка $(-2\sqrt{3}, -3\sqrt{3})$.

   $x = 2\sqrt{3}$ — точка локального минимума. $f(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$. Точка $(2\sqrt{3}, 3\sqrt{3})$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

   $f''(x) = \frac{(4x^3-24x)(x^2-4)^2 - (x^4-12x^2) \cdot 2(x^2-4)(2x)}{(x^2-4)^4} = \frac{4x(x^2-6)(x^2-4) - 4x(x^4-12x^2)}{(x^2-4)^3} = \frac{8x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$.

   $f''(x)=0$ при $x=0$.

   • На $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
   • На $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

   $x=0$ — точка перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно начала координат и состоит из трех ветвей. Левая ветвь (при $x<-2$) имеет локальный максимум в точке $(-2\sqrt{3}, -3\sqrt{3})$ и асимптотически приближается к $y=x$ и $x=-2$. Центральная ветвь (при $-2<x<2$) проходит через точку перегиба $(0,0)$ и асимптотически приближается к прямым $x=-2$ и $x=2$. Правая ветвь (при $x>2$) имеет локальный минимум в точке $(2\sqrt{3}, 3\sqrt{3})$ и асимптотически приближается к $y=x$ и $x=2$.

4) $f(x) = \frac{x^4 - 8}{(x + 1)^4}$

Для построения графика проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

   $(x+1)^4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = \frac{(-x)^4-8}{(-x+1)^4} = \frac{x^4-8}{(1-x)^4}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = \frac{-8}{1^4} = -8$. Точка $(0, -8)$.
   • С осью Ox: $x^4-8=0 \Rightarrow x^4=8 \Rightarrow x=\pm\sqrt[4]{8} \approx \pm 1.68$. Точки $(\pm\sqrt[4]{8}, 0)$.

4. Асимптоты.

   • Вертикальная асимптота: $x=-1$.
     $\lim_{x \to -1} \frac{x^4-8}{(x+1)^4} = \frac{1-8}{0^+} = \frac{-7}{0^+} = -\infty$.
   • Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4-8}{(x+1)^4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^4(1-8/x^4)}{x^4(1+1/x)^4} = 1$.
     Горизонтальная асимптота: $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

   $f'(x) = \frac{4x^3(x+1)^4 - (x^4-8) \cdot 4(x+1)^3}{(x+1)^8} = \frac{4(x+1)^3[x^3(x+1) - (x^4-8)]}{(x+1)^8} = \frac{4(x^4+x^3-x^4+8)}{(x+1)^5} = \frac{4(x^3+8)}{(x+1)^5}$.

   Критическая точка: $f'(x)=0 \Rightarrow x^3+8=0 \Rightarrow x=-2$.

   • На $(-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • На $(-2; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • На $(-1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-2$ — точка локального максимума. $f(-2) = \frac{(-2)^4-8}{(-2+1)^4} = \frac{16-8}{1} = 8$. Точка $(-2, 8)$.

6. Выпуклость и точки перегиба.

   $f''(x) = 4 \left( \frac{x^3+8}{(x+1)^5} \right)' = 4 \frac{3x^2(x+1)^5 - (x^3+8)5(x+1)^4}{(x+1)^{10}} = \frac{4[3x^2(x+1) - 5(x^3+8)]}{(x+1)^6} = \frac{4(3x^3+3x^2-5x^3-40)}{(x+1)^6} = \frac{-8(x^3 - 1.5x^2 + 20)}{(x+1)^6}$.

   Знак второй производной противоположен знаку выражения $g(x) = x^3 - 1.5x^2 + 20$. Анализ показывает, что $g(x)=0$ имеет один действительный корень $x_0 \approx -2.5$.

   • При $x < x_0$, $g(x) < 0$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
   • При $x > x_0$ (и $x \neq -1$), $g(x) > 0$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

   Точка перегиба $x_0 \approx -2.5$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x=-1$. Левая ветвь приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ слева, возрастает до точки локального максимума $(-2, 8)$, а затем убывает, стремясь к $-\infty$ при $x \to -1^-$. Эта ветвь имеет точку перегиба в $x_0 \approx -2.5$. Правая ветвь выходит из $-\infty$ при $x \to -1^+$, возрастает, пересекая оси в точках $(0, -8)$ и $(\sqrt[4]{8}, 0)$, и приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ справа. Эта ветвь выпукла вверх.

45.8. Постройте график функции:

1) $f(x) = x + \frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$;

3) $f(x) = \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3}$.

Для построения графика каждой функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.

Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю: $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

$f(-x) = -x + \frac{1}{(-x)^2} = -x + \frac{1}{x^2}$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY: $x=0$ не входит в область определения, следовательно, пересечения с осью OY нет.
• С осью OX: $f(x) = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^3+1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3+1=0 \Rightarrow x = -1$. Точка пересечения с осью OX: $(-1, 0)$.

4. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
  $\lim_{x\to 0^+} (x + \frac{1}{x^2}) = +\infty$.
  $\lim_{x\to 0^-} (x + \frac{1}{x^2}) = +\infty$.
  Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
• Наклонная асимптота: $y=kx+b$.
  $k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x + 1/x^2}{x} = \lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{x^3}) = 1$.
  $b = \lim_{x\to\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x\to\infty} (x + \frac{1}{x^2} - x) = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.
  Прямая $y=x$ является наклонной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности, точки экстремума.

$f'(x) = (x + x^{-2})' = 1 - 2x^{-3} = 1 - \frac{2}{x^3} = \frac{x^3-2}{x^3}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3-2=0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}$.
При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 0)$.
При $0 < x < \sqrt[3]{2}$, $f'(x) < 0$, функция убывает на $(0, \sqrt[3]{2})$.
При $x > \sqrt[3]{2}$, $f'(x) > 0$, функция возрастает на $(\sqrt[3]{2}, +\infty)$.
Точка $x=\sqrt[3]{2}$ является точкой локального минимума.
$y_{min} = f(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2+1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} \approx 1.89$.
Точка минимума: $(\sqrt[3]{2}, \frac{3\sqrt[3]{2}}{2})$.

6. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = (1 - 2x^{-3})' = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$.
Так как $f''(x) > 0$ для всех $x$ из области определения, график функции везде вогнут вверх. Точек перегиба нет.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=x$. Пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(\sqrt[3]{2}, +\infty)$, убывает на $(0, \sqrt[3]{2})$. Имеет точку локального минимума $(\sqrt[3]{2}, \frac{3\sqrt[3]{2}}{2})$. График вогнут вверх на всей области определения.

1. Область определения.

$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x-1)^2 + 1}{x-1} = x - 1 + \frac{1}{x-1}$.

2. Четность/нечетность.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Однако она обладает центральной симметрией относительно точки $(1, 0)$, так как является сдвигом нечетной функции $y=u+\frac{1}{u}$.

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = f(0) = \frac{2}{-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.
• С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^2-2x+2=0$. Дискриминант $D = 4 - 8 = -4 < 0$. Действительных корней нет, пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x=1$.
  $\lim_{x\to 1^+} (x-1 + \frac{1}{x-1}) = +\infty$.
  $\lim_{x\to 1^-} (x-1 + \frac{1}{x-1}) = -\infty$.
  Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
• Наклонная асимптота: Из представления $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x-1}$ следует, что при $x\to\infty$ дробь $\frac{1}{x-1} \to 0$.
  Следовательно, прямая $y=x-1$ является наклонной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности, точки экстремума.

$f'(x) = (x-1 + \frac{1}{x-1})' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.
При $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
$x=0$ - точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = -2$.
$x=2$ - точка локального минимума, $y_{min} = f(2) = 2-1 + \frac{1}{2-1} = 2$.
Точки экстремумов: $(0, -2)$ и $(2, 2)$.

6. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = (1 - (x-1)^{-2})' = 2(x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}$.
При $x < 1$, $f''(x) < 0$, график функции вогнут вниз.
При $x > 1$, $f''(x) > 0$, график функции вогнут вверх.
Точек перегиба нет, так как $x=1$ не входит в область определения.

Ответ: График функции (гипербола) имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и наклонную асимптоту $y=x-1$. Пересекает ось ординат в точке $(0, -2)$. Не пересекает ось абсцисс. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Имеет точку локального максимума $(0, -2)$ и точку локального минимума $(2, 2)$. График вогнут вниз при $x<1$ и вогнут вверх при $x>1$.

1. Область определения.

$(x-1)^3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = f(0) = \frac{-4}{(-1)^3} = 4$. Точка $(0, 4)$.
• С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3-4=0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}$. Точка $(\sqrt[3]{4}, 0)$.

4. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x=1$.
  $\lim_{x\to 1^+} \frac{x^3-4}{(x-1)^3} = \frac{-3}{+0} = -\infty$.
  $\lim_{x\to 1^-} \frac{x^3-4}{(x-1)^3} = \frac{-3}{-0} = +\infty$.
  Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальная асимптота:
  $\lim_{x\to\infty} \frac{x^3-4}{(x-1)^3} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^3(1-4/x^3)}{x^3(1-1/x)^3} = 1$.
  Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности, точки экстремума.

$f'(x) = \frac{3x^2(x-1)^3 - (x^3-4) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6} = \frac{3(x-1)^2[x^2(x-1)-(x^3-4)]}{(x-1)^6} = \frac{3(x^3-x^2-x^3+4)}{(x-1)^4} = \frac{3(4-x^2)}{(x-1)^4} = \frac{-3(x-2)(x+2)}{(x-1)^4}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x=2, x=-2$.
При $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (-2, 1) \cup (1, 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
$x=-2$ - точка локального минимума, $y_{min} = f(-2) = \frac{(-2)^3-4}{(-2-1)^3} = \frac{-12}{-27} = \frac{4}{9}$.
$x=2$ - точка локального максимума, $y_{max} = f(2) = \frac{2^3-4}{(2-1)^3} = \frac{4}{1} = 4$.
Точки экстремумов: $(-2, 4/9)$ и $(2, 4)$.

6. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = -3 \left(\frac{x^2-4}{(x-1)^4}\right)' = -3\frac{2x(x-1)^4 - (x^2-4)4(x-1)^3}{(x-1)^8} = -3\frac{2x(x-1)-4(x^2-4)}{(x-1)^5} = -3\frac{2x^2-2x-4x^2+16}{(x-1)^5} = \frac{6(x^2+x-8)}{(x-1)^5}$.
$f''(x) = 0 \Rightarrow x^2+x-8=0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(-8)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
$x_1 \approx -3.37$, $x_2 \approx 2.37$. График вогнут вниз на $(-\infty, \frac{-1-\sqrt{33}}{2}) \cup (1, \frac{-1+\sqrt{33}}{2})$.
График вогнут вверх на $(\frac{-1-\sqrt{33}}{2}, 1) \cup (\frac{-1+\sqrt{33}}{2}, +\infty)$.
Точки $x_1$ и $x_2$ являются точками перегиба.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Пересекает оси координат в точках $(0, 4)$ и $(\sqrt[3]{4}, 0)$. Функция убывает на $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$, возрастает на $(-2, 1)$ и $(1, 2)$. Имеет точку локального минимума $(-2, 4/9)$ и точку локального максимума $(2, 4)$. Имеет две точки перегиба при $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$.