Номер 45.8, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45.8. Постройте график функции:

1) $f(x) = x + \frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$;

3) $f(x) = \frac{x^3 - 4}{(x - 1)^3}$.

Для построения графика каждой функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.

Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю: $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

$f(-x) = -x + \frac{1}{(-x)^2} = -x + \frac{1}{x^2}$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY: $x=0$ не входит в область определения, следовательно, пересечения с осью OY нет.
• С осью OX: $f(x) = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^3+1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3+1=0 \Rightarrow x = -1$. Точка пересечения с осью OX: $(-1, 0)$.

4. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
  $\lim_{x\to 0^+} (x + \frac{1}{x^2}) = +\infty$.
  $\lim_{x\to 0^-} (x + \frac{1}{x^2}) = +\infty$.
  Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.
• Наклонная асимптота: $y=kx+b$.
  $k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x + 1/x^2}{x} = \lim_{x\to\infty} (1 + \frac{1}{x^3}) = 1$.
  $b = \lim_{x\to\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x\to\infty} (x + \frac{1}{x^2} - x) = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.
  Прямая $y=x$ является наклонной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности, точки экстремума.

$f'(x) = (x + x^{-2})' = 1 - 2x^{-3} = 1 - \frac{2}{x^3} = \frac{x^3-2}{x^3}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3-2=0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2}$.
При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 0)$.
При $0 < x < \sqrt[3]{2}$, $f'(x) < 0$, функция убывает на $(0, \sqrt[3]{2})$.
При $x > \sqrt[3]{2}$, $f'(x) > 0$, функция возрастает на $(\sqrt[3]{2}, +\infty)$.
Точка $x=\sqrt[3]{2}$ является точкой локального минимума.
$y_{min} = f(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2+1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} \approx 1.89$.
Точка минимума: $(\sqrt[3]{2}, \frac{3\sqrt[3]{2}}{2})$.

6. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = (1 - 2x^{-3})' = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$.
Так как $f''(x) > 0$ для всех $x$ из области определения, график функции везде вогнут вверх. Точек перегиба нет.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=x$. Пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(\sqrt[3]{2}, +\infty)$, убывает на $(0, \sqrt[3]{2})$. Имеет точку локального минимума $(\sqrt[3]{2}, \frac{3\sqrt[3]{2}}{2})$. График вогнут вверх на всей области определения.

1. Область определения.

$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x-1)^2 + 1}{x-1} = x - 1 + \frac{1}{x-1}$.

2. Четность/нечетность.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Однако она обладает центральной симметрией относительно точки $(1, 0)$, так как является сдвигом нечетной функции $y=u+\frac{1}{u}$.

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = f(0) = \frac{2}{-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.
• С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^2-2x+2=0$. Дискриминант $D = 4 - 8 = -4 < 0$. Действительных корней нет, пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x=1$.
  $\lim_{x\to 1^+} (x-1 + \frac{1}{x-1}) = +\infty$.
  $\lim_{x\to 1^-} (x-1 + \frac{1}{x-1}) = -\infty$.
  Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
• Наклонная асимптота: Из представления $f(x) = x - 1 + \frac{1}{x-1}$ следует, что при $x\to\infty$ дробь $\frac{1}{x-1} \to 0$.
  Следовательно, прямая $y=x-1$ является наклонной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности, точки экстремума.

$f'(x) = (x-1 + \frac{1}{x-1})' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.
При $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
$x=0$ - точка локального максимума, $y_{max} = f(0) = -2$.
$x=2$ - точка локального минимума, $y_{min} = f(2) = 2-1 + \frac{1}{2-1} = 2$.
Точки экстремумов: $(0, -2)$ и $(2, 2)$.

6. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = (1 - (x-1)^{-2})' = 2(x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}$.
При $x < 1$, $f''(x) < 0$, график функции вогнут вниз.
При $x > 1$, $f''(x) > 0$, график функции вогнут вверх.
Точек перегиба нет, так как $x=1$ не входит в область определения.

Ответ: График функции (гипербола) имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и наклонную асимптоту $y=x-1$. Пересекает ось ординат в точке $(0, -2)$. Не пересекает ось абсцисс. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Имеет точку локального максимума $(0, -2)$ и точку локального минимума $(2, 2)$. График вогнут вниз при $x<1$ и вогнут вверх при $x>1$.

1. Область определения.

$(x-1)^3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = f(0) = \frac{-4}{(-1)^3} = 4$. Точка $(0, 4)$.
• С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3-4=0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{4}$. Точка $(\sqrt[3]{4}, 0)$.

4. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: $x=1$.
  $\lim_{x\to 1^+} \frac{x^3-4}{(x-1)^3} = \frac{-3}{+0} = -\infty$.
  $\lim_{x\to 1^-} \frac{x^3-4}{(x-1)^3} = \frac{-3}{-0} = +\infty$.
  Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальная асимптота:
  $\lim_{x\to\infty} \frac{x^3-4}{(x-1)^3} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^3(1-4/x^3)}{x^3(1-1/x)^3} = 1$.
  Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Производная, промежутки монотонности, точки экстремума.

$f'(x) = \frac{3x^2(x-1)^3 - (x^3-4) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6} = \frac{3(x-1)^2[x^2(x-1)-(x^3-4)]}{(x-1)^6} = \frac{3(x^3-x^2-x^3+4)}{(x-1)^4} = \frac{3(4-x^2)}{(x-1)^4} = \frac{-3(x-2)(x+2)}{(x-1)^4}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x=2, x=-2$.
При $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (-2, 1) \cup (1, 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
$x=-2$ - точка локального минимума, $y_{min} = f(-2) = \frac{(-2)^3-4}{(-2-1)^3} = \frac{-12}{-27} = \frac{4}{9}$.
$x=2$ - точка локального максимума, $y_{max} = f(2) = \frac{2^3-4}{(2-1)^3} = \frac{4}{1} = 4$.
Точки экстремумов: $(-2, 4/9)$ и $(2, 4)$.

6. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = -3 \left(\frac{x^2-4}{(x-1)^4}\right)' = -3\frac{2x(x-1)^4 - (x^2-4)4(x-1)^3}{(x-1)^8} = -3\frac{2x(x-1)-4(x^2-4)}{(x-1)^5} = -3\frac{2x^2-2x-4x^2+16}{(x-1)^5} = \frac{6(x^2+x-8)}{(x-1)^5}$.
$f''(x) = 0 \Rightarrow x^2+x-8=0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(-8)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
$x_1 \approx -3.37$, $x_2 \approx 2.37$. График вогнут вниз на $(-\infty, \frac{-1-\sqrt{33}}{2}) \cup (1, \frac{-1+\sqrt{33}}{2})$.
График вогнут вверх на $(\frac{-1-\sqrt{33}}{2}, 1) \cup (\frac{-1+\sqrt{33}}{2}, +\infty)$.
Точки $x_1$ и $x_2$ являются точками перегиба.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Пересекает оси координат в точках $(0, 4)$ и $(\sqrt[3]{4}, 0)$. Функция убывает на $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$, возрастает на $(-2, 1)$ и $(1, 2)$. Имеет точку локального минимума $(-2, 4/9)$ и точку локального максимума $(2, 4)$. Имеет две точки перегиба при $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$.