Номер 45.2, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45.2. Исследуйте данную функцию и постройте её график:

1) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$;

2) $f(x) = x - x^3$;

3) $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$;

4) $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$.

Исследуем функцию $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = 4(-x) - \frac{1}{3}(-x)^3 = -4x + \frac{1}{3}x^3 = -(4x - \frac{1}{3}x^3) = -f(x)$.

Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies 4x - \frac{1}{3}x^3 = 0 \implies x(4 - \frac{1}{3}x^2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $4 - \frac{1}{3}x^2 = 0 \implies x^2 = 12 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.

Точки пересечения: $(0; 0)$, $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(2\sqrt{3}; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Точка $x=-2$ является точкой локального минимума. $f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3 = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$.

Точка $x=2$ является точкой локального максимума. $f(2) = 4(2) - \frac{1}{3}(2)^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (выпуклый).

Точка $x=0$ является точкой перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба — $(0; 0)$.

6. Построение графика.

На основе полученных данных строим график. Ключевые точки: пересечение с осями $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{3}; 0)$; экстремумы $(-2; -16/3)$ и $(2; 16/3)$; точка перегиба $(0; 0)$.

Ответ: Функция нечетная, симметричная относительно начала координат. Пересекает оси в точках $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$ и $(2\sqrt{3}; 0)$. Точка локального минимума: $(-2; -16/3)$. Точка локального максимума: $(2; 16/3)$. Точка перегиба: $(0; 0)$. Функция возрастает на интервале $(-2; 2)$ и убывает на $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$. График выпуклый вниз на $(-\infty; 0)$ и выпуклый вверх на $(0; +\infty)$.

Исследуем функцию $f(x) = x - x^3$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = (-x) - (-x)^3 = -x + x^3 = -(x - x^3) = -f(x)$.

Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies x - x^3 = 0 \implies x(1 - x^2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Точки пересечения: $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = 1 - 3x^2$.

Критические точки: $1 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

• При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ — точка минимума. $f(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{3\sqrt{3}}) = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — точка максимума. $f(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

$f''(x) = (1 - 3x^2)' = -6x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
• При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

Точка перегиба — $(0; 0)$.

6. Построение графика.

Ключевые точки: пересечение с осями $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$; экстремумы $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{2\sqrt{3}}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{9})$; точка перегиба $(0; 0)$.

Ответ: Функция нечетная, симметричная относительно начала координат. Пересекает оси в точках $(-1; 0)$, $(0; 0)$ и $(1; 0)$. Точка локального минимума: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{2\sqrt{3}}{9})$. Точка локального максимума: $(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{9})$. Точка перегиба: $(0; 0)$. Функция возрастает на $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ и убывает на $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.

Исследуем функцию $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = \frac{(-x)^4}{2} - 4(-x)^2 = \frac{x^4}{2} - 4x^2 = f(x)$.

Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies \frac{x^4}{2} - 4x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x^2}{2} - 4) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $\frac{x^2}{2} = 4 \implies x^2 = 8 \implies x_{2,3} = \pm 2\sqrt{2}$.

Точки пересечения: $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{2}; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

$f'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x-2)(x+2)$.

Критические точки: $x=0$, $x=2$, $x=-2$.

• $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

$x=-2$ и $x=2$ — точки минимума. $f(\pm 2) = \frac{16}{2} - 4(4) = 8 - 16 = -8$.

$x=0$ — точка максимума. $f(0) = 0$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

$f''(x) = (2x^3 - 8x)' = 6x^2 - 8$.

$f''(x) = 0 \implies 6x^2 = 8 \implies x^2 = 4/3 \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

• При $x \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
• При $x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

Точки перегиба: $x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$. $f(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{16}{9}) - 4(\frac{4}{3}) = \frac{8}{9} - \frac{16}{3} = -\frac{40}{9}$.

6. Построение графика.

Ключевые точки: пересечения $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{2}; 0)$; экстремумы $(-2; -8)$, $(0; 0)$, $(2; -8)$; точки перегиба $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{40}{9})$.

Ответ: Функция четная, симметричная относительно оси Oy. Пересекает оси в точках $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$ и $(2\sqrt{2}; 0)$. Точки локального минимума: $(-2; -8)$ и $(2; -8)$. Точка локального максимума: $(0; 0)$. Точки перегиба: $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; -\frac{40}{9})$. Функция возрастает на $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$.

Исследуем функцию $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$. Запишем в стандартном виде: $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 7 = -x^4 + 8x^2 - 7 = f(x)$.

Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies f(0) = -7$. Точка $(0; -7)$.

С осью Ox: $f(x)=0 \implies -x^4 + 8x^2 - 7 = 0 \implies x^4 - 8x^2 + 7 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t=x^2, t \ge 0$. $t^2 - 8t + 7 = 0$. По теореме Виета $t_1=1, t_2=7$.

$x^2=1 \implies x=\pm 1$. $x^2=7 \implies x=\pm \sqrt{7}$.

Точки пересечения: $(-\sqrt{7}; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(\sqrt{7}; 0)$.

4. Производная и точки экстремума.

$f'(x) = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$.

Критические точки: $x=0$, $x=2$, $x=-2$.

• $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• $x \in (-2; 0) \cup (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x=-2$ и $x=2$ — точки максимума. $f(\pm 2) = -(\pm 2)^4 + 8(\pm 2)^2 - 7 = -16 + 32 - 7 = 9$.

$x=0$ — точка минимума. $f(0) = -7$.

5. Вторая производная и точки перегиба.

$f''(x) = (-4x^3 + 16x)' = -12x^2 + 16$.

$f''(x) = 0 \implies -12x^2 + 16 = 0 \implies x^2 = 16/12 = 4/3 \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

• При $x \in (-\infty; -\frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
• При $x \in (-\frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

Точки перегиба: $x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$. $f(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}) = -(\frac{16}{9}) + 8(\frac{4}{3}) - 7 = \frac{-16+96-63}{9} = \frac{17}{9}$.

6. Построение графика.

Ключевые точки: пересечения $(-\sqrt{7}; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(\sqrt{7}; 0)$ и $(0, -7)$; экстремумы $(-2; 9)$, $(0; -7)$, $(2; 9)$; точки перегиба $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{17}{9})$.

Ответ: Функция четная, симметричная относительно оси Oy. Пересекает ось Oy в точке $(0; -7)$ и ось Ox в точках $(\pm 1; 0)$ и $(\pm \sqrt{7}; 0)$. Точки локального максимума: $(-2; 9)$ и $(2; 9)$. Точка локального минимума: $(0; -7)$. Точки перегиба: $(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; \frac{17}{9})$. Функция возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$, убывает на $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$.