Номер 43.11, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.11. Разбейте число 180 на три неотрицательных слагаемых так, чтобы два из них относились как $1 : 2$, а произведение всех трёх слагаемых было наибольшим.

Пусть искомые три неотрицательных слагаемых – это $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 180:

$a + b + c = 180$

Также известно, что два из слагаемых относятся как 1:2. Без ограничения общности, можно предположить, что это слагаемые $a$ и $b$. Таким образом, мы можем записать их как $a = x$ и $b = 2x$, где $x$ – некоторый неотрицательный коэффициент пропорциональности ($x \geq 0$).

Подставим эти выражения в уравнение суммы:

$x + 2x + c = 180$

$3x + c = 180$

Отсюда выразим третье слагаемое $c$ через $x$:

$c = 180 - 3x$

Поскольку все слагаемые должны быть неотрицательными, то $c \geq 0$. Это накладывает ограничение на $x$:

$180 - 3x \geq 0$

$180 \geq 3x$

$x \leq 60$

Таким образом, переменная $x$ должна находиться в пределах от 0 до 60, то есть $x \in [0, 60]$.

Нам необходимо максимизировать произведение всех трёх слагаемых, которое обозначим как $P$:

$P = a \cdot b \cdot c = x \cdot (2x) \cdot (180 - 3x)$

Мы получили функцию $P(x)$, которую нужно максимизировать на отрезке $[0, 60]$:

$P(x) = 2x^2(180 - 3x) = 360x^2 - 6x^3$

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(x)$ по переменной $x$:

$P'(x) = (360x^2 - 6x^3)' = 360 \cdot 2x - 6 \cdot 3x^2 = 720x - 18x^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$720x - 18x^2 = 0$

$18x(40 - x) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 40$. Обе критические точки принадлежат отрезку $[0, 60]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить её значения в критических точках и на концах отрезка:

• $P(0) = 360(0)^2 - 6(0)^3 = 0$
• $P(40) = 360(40)^2 - 6(40)^3 = 360 \cdot 1600 - 6 \cdot 64000 = 576000 - 384000 = 192000$
• $P(60) = 360(60)^2 - 6(60)^3 = 6 \cdot 60 \cdot 60^2 - 6 \cdot 60^3 = 6 \cdot 60^3 - 6 \cdot 60^3 = 0$

Сравнивая полученные значения, делаем вывод, что произведение достигает своего максимума при $x = 40$.

Теперь найдем значения всех трёх слагаемых:

$a = x = 40$

$b = 2x = 2 \cdot 40 = 80$

$c = 180 - 3x = 180 - 3 \cdot 40 = 180 - 120 = 60$

Таким образом, число 180 разбивается на слагаемые 40, 80 и 60. Проверим выполнение условий: они неотрицательны, их сумма $40 + 80 + 60 = 180$, и два из них ($40$ и $80$) относятся как $1:2$.

Ответ: 40, 60, 80.