Номер 43.7, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.7. Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 8, что можно записать как $x + y = 8$. Также дано, что числа неотрицательные, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Требуется найти такие $x$ и $y$, чтобы произведение куба одного из них на второе было наибольшим. Обозначим это произведение как $P$. Возможны два случая: $P_1 = x^3 y$ или $P_2 = x y^3$. Решим задачу для первого случая, так как второй случай симметричен.

Рассмотрим функцию $P = x^3 y$. Чтобы найти ее максимум, выразим одну переменную через другую. Из уравнения $x + y = 8$ получаем $y = 8 - x$.

Подставим это выражение в формулу для $P$:
$P(x) = x^3 (8 - x) = 8x^3 - x^4$.

Учитывая условия $x \ge 0$ и $y \ge 0$ (то есть $8 - x \ge 0$, откуда $x \le 8$), мы должны найти наибольшее значение функции $P(x)$ на отрезке $[0, 8]$.

Для этого найдем производную функции $P(x)$ по переменной $x$:
$P'(x) = (8x^3 - x^4)' = 24x^2 - 4x^3$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$P'(x) = 0$
$24x^2 - 4x^3 = 0$
$4x^2(6 - x) = 0$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Обе точки принадлежат рассматриваемому отрезку $[0, 8]$.

Теперь необходимо вычислить значения функции $P(x)$ в найденных критических точках и на концах отрезка $[0, 8]$:

• При $x = 0$: $P(0) = 8 \cdot 0^3 - 0^4 = 0$.
• При $x = 6$: $P(6) = 8 \cdot 6^3 - 6^4 = 8 \cdot 216 - 1296 = 1728 - 1296 = 432$.
• При $x = 8$: $P(8) = 8 \cdot 8^3 - 8^4 = 8^4 - 8^4 = 0$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что наибольшее значение функции $P(x)$ равно 432 и достигается при $x = 6$.

Теперь найдем соответствующее значение для второго числа $y$:
$y = 8 - x = 8 - 6 = 2$.

Таким образом, искомые числа — это 6 и 2. Их сумма равна $6 + 2 = 8$. Произведение куба первого числа на второе равно $6^3 \cdot 2 = 216 \cdot 2 = 432$, что является максимальным значением.

Ответ: 8 = 6 + 2.