Номер 43.13, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.13. В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне $AC$, а две другие — на сторонах $AB$ и $BC$. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если $AC = 12$ см, $BD = 10$ см, где $BD$ — высота треугольника $ABC$.

Пусть в треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его вершины $K$ и $N$ лежат на стороне $AC$, а вершины $L$ и $M$ — на сторонах $BC$ и $AB$ соответственно. Обозначим высоту прямоугольника $h$ (длину стороны $ML$) и его ширину $w$ (длину стороны $MN$). Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = w \cdot h$. Наша задача — найти максимальное значение этой площади.

Проведем высоту $BD$ треугольника $ABC$ к основанию $AC$. По условию, $AC = 12$ см и $BD = 10$ см. Пусть высота $BD$ пересекает сторону $MN$ прямоугольника в точке $E$.

Поскольку сторона $MN$ прямоугольника параллельна стороне $AC$ треугольника, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Высота $BE$ треугольника $MBN$ (проведенная из вершины $B$ к стороне $MN$) является частью высоты $BD$. Длина высоты $BE$ равна разности высоты $BD$ и высоты прямоугольника $h$. То есть, $BE = BD - ED = 10 - h$.

Из подобия треугольников $MBN$ и $ABC$ следует, что отношение их оснований равно отношению их высот:$ \frac{MN}{AC} = \frac{BE}{BD} $

Подставим известные значения и наши переменные в эту пропорцию:$ \frac{w}{12} = \frac{10 - h}{10} $

Выразим ширину $w$ через высоту $h$:$ w = 12 \cdot \frac{10 - h}{10} = 1.2(10 - h) = 12 - 1.2h $

Теперь подставим это выражение для $w$ в формулу площади прямоугольника, чтобы получить зависимость площади только от одной переменной $h$:$ S(h) = w \cdot h = (12 - 1.2h) \cdot h = 12h - 1.2h^2 $

Эта функция $S(h)$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $h^2$ отрицательный ($-1.2$). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы. Координата вершины $h_0$ находится по формуле $h_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = -1.2$ и $b = 12$.$ h_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1.2)} = -\frac{12}{-2.4} = \frac{120}{24} = 5 $

Таким образом, площадь прямоугольника будет наибольшей при его высоте $h = 5$ см. Теперь найдем это наибольшее значение площади, подставив $h=5$ в нашу функцию $S(h)$:$ S_{max} = 12 \cdot 5 - 1.2 \cdot 5^2 = 60 - 1.2 \cdot 25 = 60 - 30 = 30 $

Ответ: 30 см$^2$.