Номер 43.3, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$, $[-6; 8]$;

2) $f(x) = \sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}$, $[2; 4]$;

3) $f(x) = (x+1)^2(x-2)^2$, $[-2; 4]$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$, $[-4; -1]$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$ на отрезке $[-6; 8]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из полученных чисел наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{100 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{100 - x^2}} \cdot (100 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}.$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x = 0.$

Критическая точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-6; 8]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$f(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.$

$f(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6.$

$f(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10.$

4. Сравнивая полученные значения $6, 8, 10$, заключаем, что наибольшее значение функции равно 10, а наименьшее – 6.

Ответ: наибольшее значение $10$, наименьшее значение $6$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}$ на отрезке $[2; 4]$.

1. Функция $y=\sqrt{t}$ является монотонно возрастающей, поэтому наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на отрезке достигаются в тех же точках, что и у подкоренного выражения $g(x) = 0.5x^2 + 3x + 5$. Найдем экстремумы функции $g(x)$.

2. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (0.5x^2 + 3x + 5)' = x + 3.$

3. Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$:

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3.$

Эта точка не принадлежит отрезку $[2; 4]$. Поскольку на отрезке $[2; 4]$ нет критических точек, а производная $g'(x) = x+3$ положительна при $x \in [2; 4]$, функция $g(x)$ монотонно возрастает на этом отрезке. Следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x=2$, а наибольшее – в точке $x=4$.

4. Вычислим значения функции $f(x)$ на концах отрезка:

$f(2) = \sqrt{0.5(2)^2 + 3(2) + 5} = \sqrt{2 + 6 + 5} = \sqrt{13}.$

$f(4) = \sqrt{0.5(4)^2 + 3(4) + 5} = \sqrt{8 + 12 + 5} = \sqrt{25} = 5.$

Ответ: наибольшее значение $5$, наименьшее значение $\sqrt{13}$.

3) Дана функция $f(x) = (x+1)^2(x-2)^2$ на отрезке $[-2; 4]$.

1. Преобразуем функцию: $f(x) = ((x+1)(x-2))^2 = (x^2 - x - 2)^2$.

2. Найдем производную функции по правилу производной сложной функции:

$f'(x) = 2(x^2 - x - 2)^{2-1} \cdot (x^2 - x - 2)' = 2(x^2 - x - 2)(2x - 1).$

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2(x^2 - x - 2)(2x - 1) = 0.$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -1.$

$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_3 = 0.5.$

Все три критические точки $x = -1, x = 0.5, x = 2$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-2) = ((-2)+1)^2((-2)-2)^2 = (-1)^2(-4)^2 = 1 \cdot 16 = 16.$

$f(-1) = ((-1)+1)^2((-1)-2)^2 = 0^2(-3)^2 = 0.$

$f(0.5) = (0.5+1)^2(0.5-2)^2 = (1.5)^2(-1.5)^2 = 2.25 \cdot 2.25 = 5.0625.$

$f(2) = (2+1)^2(2-2)^2 = 3^2 \cdot 0^2 = 0.$

$f(4) = (4+1)^2(4-2)^2 = 5^2 \cdot 2^2 = 25 \cdot 4 = 100.$

5. Сравнивая полученные значения $16, 0, 5.0625, 100$, находим, что наибольшее значение равно 100, а наименьшее – 0.

Ответ: наибольшее значение $100$, наименьшее значение $0$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$ на отрезке $[-4; -1]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{x} + \frac{x}{2})' = (2x^{-1} + \frac{1}{2}x)' = -2x^{-2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2}.$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \Rightarrow x^2 = 4.$

Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

3. Отрезку $[-4; -1]$ принадлежит только одна критическая точка: $x = -2$.

4. Вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка:

$f(-4) = \frac{2}{-4} + \frac{-4}{2} = -0.5 - 2 = -2.5.$

$f(-1) = \frac{2}{-1} + \frac{-1}{2} = -2 - 0.5 = -2.5.$

$f(-2) = \frac{2}{-2} + \frac{-2}{2} = -1 - 1 = -2.$

5. Сравнивая полученные значения $-2.5, -2$, находим, что наибольшее значение равно -2, а наименьшее – -2.5.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-2.5$.