Номер 42.34, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.34. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 2$ является точкой экстремума функции $y = x^3 - 2ax^2 + (2a^2 - 2a)x + 9$?

Для того чтобы точка $x_0 = 2$ была точкой экстремума функции, необходимо, чтобы производная функции в этой точке равнялась нулю. Это необходимое условие экстремума.

Дана функция: $y = x^3 - 2ax^2 + (2a^2 - 2a)x + 9$.

Найдем ее производную по $x$:

$y' = (x^3 - 2ax^2 + (2a^2 - 2a)x + 9)' = 3x^2 - 4ax + 2a^2 - 2a$.

Теперь применим необходимое условие: подставим $x_0 = 2$ в производную и приравняем ее к нулю:

$y'(2) = 3(2)^2 - 4a(2) + 2a^2 - 2a = 0$

$12 - 8a + 2a^2 - 2a = 0$

$2a^2 - 10a + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$a_1 = 2$, $a_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить достаточное условие экстремума для каждого из найденных значений $a$. Точка является точкой экстремума, если при переходе через нее производная меняет свой знак. Если знак производной не меняется, то это точка перегиба.

Для проверки можно исследовать знак первой производной в окрестности точки $x_0=2$ или использовать вторую производную. Если $y''(x_0) \neq 0$, то в точке $x_0$ есть экстремум. Найдем вторую производную:

$y'' = (3x^2 - 4ax + 2a^2 - 2a)' = 6x - 4a$.

Проверим каждое значение $a$:

1. При $a = 2$:

Найдем значение второй производной в точке $x_0 = 2$:

$y''(2) = 6(2) - 4(2) = 12 - 8 = 4$.

Так как $y''(2) = 4 > 0$, то в точке $x_0 = 2$ функция имеет локальный минимум, что является экстремумом. Следовательно, значение $a = 2$ подходит.

2. При $a = 3$:

Найдем значение второй производной в точке $x_0 = 2$:

$y''(2) = 6(2) - 4(3) = 12 - 12 = 0$.

В этом случае тест со второй производной не дает ответа. Исследуем знак первой производной. Подставим $a=3$ в выражение для $y'(x)$:

$y'(x) = 3x^2 - 4(3)x + 2(3)^2 - 2(3) = 3x^2 - 12x + 18 - 6 = 3x^2 - 12x + 12$.

Вынесем общий множитель 3:

$y'(x) = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x-2)^2$.

Выражение $3(x-2)^2$ всегда неотрицательно ($ \geq 0$). Это означает, что производная не меняет свой знак при переходе через точку $x=2$ (она равна нулю в самой точке, и положительна слева и справа от нее). Следовательно, при $a=3$ точка $x_0=2$ не является точкой экстремума, а является точкой перегиба.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $a=2$.

Ответ: $a=2$.