Номер 42.27, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.27. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = \sin x \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$.

1) $f(x) = \sin x \sin(x - \frac{\pi}{4})$

Для нахождения точек минимума и максимума функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследуем знак второй производной в этих точках.

Сначала упростим функцию, используя формулу преобразования произведения синусов в сумму:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(x - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) - \cos\left(x + x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} - \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = -\frac{1}{2}\left(-\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot 2 = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0 \implies \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

$2x - \frac{\pi}{4} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Для определения характера этих точек найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = \left(\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$

Подставим в нее найденные критические точки. Заметим, что для этих точек $2x - \frac{\pi}{4} = n\pi$.

$f''(x_n) = 2\cos(n\pi)$

1. Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $\cos(2k\pi) = 1$.
$f''(x_{2k}) = 2 \cdot 1 = 2 > 0$. Следовательно, в этих точках функция имеет минимум.
Точки минимума: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2k\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$, то $\cos((2k+1)\pi) = -1$.
$f''(x_{2k+1}) = 2 \cdot (-1) = -2 < 0$. Следовательно, в этих точках функция имеет максимум.
Точки максимума: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{(2k+1)\pi}{2} = \frac{\pi}{8} + k\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки минимума $x = \frac{\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x = \frac{5\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

Для нахождения точек минимума и максимума функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследуем знак второй производной в этих точках.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы выразить функцию через одну тригонометрическую функцию:

$f(x) = (1 - \cos^2 x) - \cos x = 1 - \cos^2 x - \cos x$

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = (1 - \cos^2 x - \cos x)' = -2\cos x (-\sin x) - (-\sin x) = 2\sin x \cos x + \sin x$

$f'(x) = \sin x (2\cos x + 1)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0 \implies \sin x (2\cos x + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

2. $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Для определения характера этих точек найдем вторую производную $f''(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) + \sin x$

$f''(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x) + \sin x\right)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2 + \cos x = \cos(2x) + \cos x$. Используя формулу двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, получаем:

$f''(x) = 2\cos^2 x - 1 + \cos x$

Теперь исследуем знак второй производной в критических точках:

1. Для точек $x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$: $\cos(k\pi) = (-1)^k$. $f''(k\pi) = 2(\cos(k\pi))^2 - 1 + \cos(k\pi) = 2((-1)^k)^2 - 1 + (-1)^k = 2(1) - 1 + (-1)^k = 1 + (-1)^k$. - Если $k$ четное ($k=2m$), $f''(2m\pi) = 1 + 1 = 2 > 0$, следовательно, это точки минимума. - Если $k$ нечетное ($k=2m+1$), $f''((2m+1)\pi) = 1 - 1 = 0$. В этом случае тест по второй производной не дает результата. Проверим знак первой производной. $f'(x) = \sin x(2\cos x + 1)$. В окрестности точки $x=(2m+1)\pi$, множитель $2\cos x+1$ отрицателен (близок к $2(-1)+1 = -1$). Знак $\sin x$ меняется с «+» на «−» при переходе через эту точку. Таким образом, знак $f'(x)$ меняется с «−» на «+». Значит, $x=(2m+1)\pi$ — точки минимума. Итак, все точки вида $x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$ являются точками минимума.

2. Для точек $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$: В этих точках $\cos x = -\frac{1}{2}$. $f''(x) = 2\cos^2 x - 1 + \cos x = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{2} = -1 < 0$. Следовательно, это точки максимума.

Ответ: точки минимума $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.